Ανίσωση με μιγάδες

#1

Να δείξετε ότι για κάθε $z \in \mathbb{C}$ και για κάθε $n \in \mathbb{N}^{*}$ ισχύει:

$\displaystyle{\left| {{{\left( {1 + z} \right)}^n} - 1} \right| \le {\left( {1 + \left| z \right|} \right)^n} - 1}$

#2

chris_gatos έγραψε:Να δείξετε ότι για κάθε $z \in \mathbb{C}$ και για κάθε $n \in \mathbb{N}^{*}$ ισχύει:

$\displaystyle{\left| {{{\left( {1 + z} \right)}^n} - 1} \right| \le {\left( {1 + \left| z \right|} \right)^n} - 1}$

Από το ανάπτυγμα του διωνύμου έχουμε

$\displaystyle{\left| {{{\left( {1 + z} \right)}^n} - 1} \right| = \left| {{{\sum _{k=0}^n\binom {n}{k}z^n- 1} \right|= \left| {{{\sum _{k=1}^n\binom {n}{k}z^n} \right|$

$\displaystyle{ \le \sum _{k=1}^n\binom {n}{k}|z|^n = \sum _{k=0}^n\binom {n}{k}|z|^n -1 ={\left( {1 + \left| z \right|} \right)^n} - 1}$

Φιλικά,

Μιχάλης

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #3

chris_gatos έγραψε:Να δείξετε ότι για κάθε $z \in \mathbb{C}$ και για κάθε $n \in \mathbb{N}^{*}$ ισχύει:

$\displaystyle{\left| {{{\left( {1 + z} \right)}^n} - 1} \right| \le {\left( {1 + \left| z \right|} \right)^n} - 1}$

Θα δουλέψουμε με μαθηματική επαγωγή στην $\displaystyle{\left| {{{\left( {1 + z} \right)}^n} - 1} \right| \le {\left( {1 + \left| z \right|} \right)^n} - 1}$ (1)

για

= 1 εχω $\displaystyle{\left| {{{\left( {1 + z} \right)}} - 1} \right| \le {\left( {1 + \left| z \right|} \right)} - 1}$ ισχύει (ώς ισότητα)

Δέχομαι οτι ισχύει για

=

δηλ.
$\displaystyle{\left| {{{\left( {1 + z} \right)}^k} - 1} \right| \le {\left( {1 + \left| z \right|} \right)^k} - 1}$ (2)
και θα αποδείξω οτι ισχύει και για

=

$\displaystyle{\left| {{{\left( {1 + z} \right)}^{k+1}} - 1} \right| \le {\left( {1 + \left| z \right|} \right)^{k+1}} - 1}$ (3)

Οπότε έχουμε : $\displaystyle{\left| {{{\left( {1 + z} \right)}^{k+1}} - 1} \right|= \left| {{{\left( {1 + z} \right)}^{k}(1+z)} - 1} \right|= \left| {{{\left( {1 + z} \right)}^{k}+z{\left( {1 + z} \right)}^{k}} - 1} \right|$
$\le \left| {{{\left( {1 + z} \right)}^{k}-1\right|+\left|z{\left( {1 + z} \right)}^{k}} } \right| \le \limits^{(2)} {\left( {1 + \left| z \right|} \right)^k} - 1}+\left|z\right|{\left( {1 + \left|z \right|} \right)}^{k}} }$
$= {\left( {1 + \left| z \right|} \right)^{k+1}} - 1}$

οπότε αποδείχθηκε

maiksoul · #4

Mια ελαφρώς διαφορετική ιδέα.Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα :

$\displaystyle{ \,\,a^n - b^n = (a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2} b + ... + ab^{n - 2} + b^{n - 1} )\,\, }$

Είναι:
$\displaystyle{ \begin{array}{l} A = \left| {(1 + z)^n - 1} \right| = \left| {\,z\left[ {(1 + z)^{n - 1} + (1 + z)^{n - 2} + ... + 1} \right]\,} \right| \le \left| z \right|\left[ {\left| {1 + z} \right|^{n - 1} + ... + 1} \right]\, = B \\ B \le \left| z \right|\left[ {(1 + \left| z \right|)^{n - 1} + (1 + \left| z \right|)^{n - 2} + ... + 1} \right] = (\,\,1 + \left| {\,z\,} \right|\,\,)^n - 1\,\,\,\,\,\,\, \\ \end{array} }$

και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

Ανίσωση με μιγάδες

Ανίσωση με μιγάδες

Re: Ανίσωση με μιγάδες

Re: Ανίσωση με μιγάδες

Re: Ανίσωση με μιγάδες

Μέλη σε σύνδεση