απορια στους γ.τ

[gpsom63]

οι εκφράσεις , να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών , να βρείτε τον γ.τ των εικόνων των μιγαδικών ,να βρείτε πού ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών ,να βρείτε που κινείται η εικόνα του μιγαδικού , ειναι ισοδύναμες ;

[nsmavrogiannis]

οι εκφράσεις , να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών , να βρείτε τον γ.τ των εικόνων των μιγαδικών ,να βρείτε πού ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών ,να βρείτε που κινείται η εικόνα του μιγαδικού , ειναι ισοδύναμες ;

οι εκφράσεις ,
α) να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών
β) να βρείτε τον γ.τ των εικόνων των μιγαδικών
γ) να βρείτε πού ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών
δ) να βρείτε που κινείται η εικόνα του μιγαδικού , ειναι ισοδύναμες ;

Τα α) β) λένε το ίδιο πράγμα άρα είναι ισοδύναμα.
Τα γ) δ) επίσης απλώς το δ) βάζει και το στοιχείο της κίνησης. Ως επιπλέον στοιχείο είναι αχρηστο. Ίσως να είναι πιο γλαφυρό!
Λένε τα β) και γ) το ίδιο πράγμα; Λογικά όχι. Εκείνο το που του γ) θα μπορούσε να σταθεί για οποιοδήποτε υπερσύνολο του γεωμετρικού τόπου. Η έκφραση του γ) είναι ανακριβής και αδόκιμη. Την χρησιμοποιούμε μόνο και μόνο επειδή χρησιμοποιέίται (κακώς) στο σχολικό βιβλίο οι συγγραφείς του οποίου επέλεξαν να αποφύγουν τον όρο "γεωμετρικός τόπος" ακαταφεύγοντας στον δήθεν απλούστερο αλλα προβληματικό όρο "πού ανήκουν". Σε κάθε περίπτωση όμως συμβατικά τα γ) και β) λένε το ίδιο πράγμα.
Άρα οι διατυπώσεις α) β) γ) δ) είναι ισοδύναμες.
Μαυρογιάννης

[Μπάμπης Στεργίου]

οι εκφράσεις ,

a) να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών ,

b) να βρείτε τον γ.τ των εικόνων των μιγαδικών ,

c) να βρείτε πού ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών ,

d) να βρείτε που κινείται η εικόνα του μιγαδικού , ειναι ισοδύναμες ;

Μερικές παρατηρήσεις :

α) Πουθενά δεν έχει ορισθεί αυστηρά κάτι από όλα αυτά, με εξαίρεση το b). Ο γ.τ. είναι σαφής έννοια και όλοι καταλαβαίνουμε το ίδιο πράγμα.

β) Για το α) θα έλεγα ότι μάλλον πρέπει να εννοούμε ό,τι και με το b) , δηλαδή γεωμετρικό τόπο. Δεν είναι πάντα δόκιμος όρος, αλλά τέλος πάντων τις πιο πολλές φορές μπορούμε και συννενοούμαστε. Αν πχ πρόκειται για το εσωτερικό ενός κύκλου ή για μια ευθεία ή για μια κωνική, όλα είναι εντάξει. Αν πρόκειται όμως για τα σημεία ενός κύκλου με συντεταγμένες αλγεβρικούς αριθμούς, πώς το να περιγράψουμε γεωμετρικά το σύνολο αυτό , αφού δεν περιγράφεται ; Ο γεωμετρικός τόπος όμως δεν υπόκειται στον περιορισμό της περιγραφής, αλλά στον εντοπισμό των σημείων με μια κοινή ιδιότητα και μόνο αυτών.Το πώς θα δοθεί η απάντηση είναι δευτερεύον.

γ) Για το c) δεν έχω να πω τίποτα παραπάνω , πέρα από το ότι πρόκειται για τελείως άστοχη διατύπωση. Ο μαθητής μπορεί να απαντήσει :'' ανήκουν στο μιγαδικό επίπεδο '' και η απάντηση είναι πλήρης.

δ) Για το δ) ισχύει το ίδιο σχόλιο με το γ).Ο μαθητής μπορεί να απαντήσει ότι κινείται στο επίπεδο και κανένας δεν δικαιούται να φέρει αντίρηση.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Εκτός λοιπόν από το ερώτημα:

b)''Να βρείτε τον γ.τ των εικόνων των μιγαδικών ,με την ιδιότητα .

τα άλλα(πλην ίσως του a)) είναι κακές διατυπώσεις , χωρίς νόημα μάλλον και ως εκ τούτου δεν έχει νόημα να τις συζητάμε, εκτός κι αν όλοι μας συμφωνήσουμε από δω και πέρα να τις ταυτίζουμε με το ερώτημα '' Να βρεθεί ο γ.τ.'', όπως εύστοχα διατύπωσε ο Νίκος στο παραπάνω μήνυμα . Αλλά τέτοια συμφωνία δεν μπορεί να υπάρξει, αν δεν γραφεί επίσημα σε σχολικό βιβλίο, ώστε να είναι σε όλους διαθέσιμη, είτε συμφωνούν είτε όχι.

ε) Έχει νόημα ωστόσο η διατύπωση :

'' Να αποδείξετε ότι η εικόνα ενός μιγαδικού κινείται(ή ανήκει) σε μια γραμμή C''.

Σε αυτή την περίπτωση, σύμφωνα με την άποψη που έχει διαμορφωθεί μέχρι τώρα στη μαθηματική κοινότητα και η οποία βασίζεται στον έννοια '' κινείται '', πρόπειται για τη ... μισή απόδειξη ενός γεωμ. τόπου.
Στις πιο πολλές ασκήσεις-έχουν δοθεί και στις πανελλήνιες - όταν πάμε να βρούμε την εξίσωση μιας γραμμής , στην οποία ανήκει ένα σημείο, κάνουμε απαλοιφή παραμέτρων. Επειδή δεν έχουμε πάντα αντιστρεπτά βήματα ή επειδή αυτό δεν είναι πάντα προφανές, η άσκηση τελειώνει σε αυτό το σημείο με τη γνωστή διατύπωση :

'' Άρα το σημείο Μ κινείται πχ σε έναν κύκλο κλπ ''

Με αυτή τη διατύπωση δεν μας νοιάζει σε ποια ακριβώς σημεία του κύκλου μπορεί να βρεθεί το Μ . Το Μ μπορεί να γράφει ένα ημικύκλιο, μπορεί ένα τόξο ή ένωση τόξων κλπ , αλλά αφού δεν ζητάμε γεωμ. τόπο, η απάντηση ότι το Μ κινείται σε κύκλο είναι επαρκής, αφού αυτό είναι που ζητείται στην εκφώνηση.

Με την παραπάνω διατύπωση λοιπόν θεωρώ ότι για την ώρα οι εκφράσεις :

- '' Δείξτε ότι ο γ.τ του Μ είναι η γραμμή C '' και

- '' Δείξτε ότι το σημείο Μ κινείται στη γραμμή C ''

δεν πρέπει να ταυτιστούν. Αν ταυτιστούν πρέπει ή οι μισές ασκήσεις από αυτές που κάνουμε να πάνε στο καλάθι( πολύ θα μου άρεσε !) ή οι μαθητές- και εμείς μαζί τους- να γεμίζουν , όπου είναι δυνατόν , έναν ακόμα πίνακα πράξεις για την απόδειξη του αντίστροφου(κάτι που είναι καλό μεν, χρονοβόρο δε!).

Βέβαια , αν τα β) και δ) δεν ταυτιστούν εννοιολογικά γεννιέται ένα ... πονηρό πρόβλημα : Αν στις εξετάσεις δοθεί ως πρώτο ερώτημα μιας άσκησης :

α) << Δείξτε ότι η εικόνα του κινείται σε μια ευθεία >>

και ως δεύτερο ερώτημα το

β) <<Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του μέτρου >> ,

τότε ο γνωστός τρόπος με τον τύπο της Β' Κατεύθυνσης πάει περίπατο ! Κανένας δεν μπορεί να ξέρει αν εκείνο το σημείο που πέφτει η κάθετος είναι εικόνα κάποιου .Αν λοιπόν σε μια τέτοια περίπτωση δεν γίνει η σχετική διερεύνηση, το ερώτημα έχει απαντηθεί με πολλές παραλλείψεις και θα χαθούν - δίκαια- σχεδόν οι μισές μονάδες.

Υποψιάζομαι ότι ο Νίκος, με τη θέση που διατύπωσε , θέλει έμμεσα να διαφυλλάξει τη μαθηματική κοινότητα των ΒΚ από ένα τέτοιο κρίσιμο περιστατικό και σε αυτό θα συμφωνήσω μαζί του.

Αυτά έχω μέχρι σήμερα καταγράψει, αλλά ευχαρίστως να συμπλεύσω και με κάθε άλλη άποψη που θα συμβάλει στην τακτοποίηση του εννοιολογικού αυτού ζητήματος .

Μπ.