Ανισότητα στο μέτρο μιγαδικού

#1

Αν και δύσκολη άσκηση, τη θεωρώ πολύ βασική, διότι η ιδέα για τη λύση της μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε πολλά παρόμοια θέματα.

ΑΣΚΗΣΗ

Να αποδειχθεί ότι για κάθε $z\in \mathbb C$ ισχύει η σχέση : $|z+1|+|z^2+z+1|\geq 1$ . Πότε ισχύει η ισότητα ;

Σχόλιο

Έχουμε πρόσφατα λύσει εδώ στο mathematica μια παρόμοια άσκηση με τρεις όρους στο πρώτο μέλος .

Μπάμπης

nikoszan · #2

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Αν και δύσκολη άσκηση, τη θεωρώ πολύ βασική, διότι η ιδέα για τη λύση της μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε πολλά παρόμοια θέματα.

ΑΣΚΗΣΗ

Να αποδειχθεί ότι για κάθε $z\in \mathbb C$ ισχύει η σχέση : $|z+1|+|z^2+z+1|\geq 1$ . Πότε ισχύει η ισότητα ;

Σχόλιο

Έχουμε πρόσφατα λύσει εδώ στο mathematica μια παρόμοια άσκηση με τρεις όρους στο πρώτο μέλος .

Μπάμπης

Γειά σου Μπάμπη ...
$\bullet$ Αν $\left| z \right| \ge 1$ ,τότε $|z + 1| + |{z^2} + z + 1| \ge |\left( {{z^2} + z + 1} \right) - \left( {z + 1} \right)| = \left| {{z^2}} \right| = {\left| z \right|^2} \ge 1$
$\bullet$ Αν $\left| z \right| < 1$ , τότε $|z + 1| + |{z^2} + z + 1| \ge \left| z \right|.|z + 1| + |{z^2} + z + 1| = \left| {z\left( {z + 1} \right)} \right| + |{z^2} + z + 1| =$
$= |{z^2} + z| + |{z^2} + z + 1| \ge |\left( {{z^2} + z + 1} \right) - \left( {{z^2} + z} \right)| = 1$ .
Επομένως για κάθε $z \in C$ ισχύει $|z + 1| + |{z^2} + z + 1| \ge 1$
Ν.Ζ.

Grosrouvre · #3

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Πότε ισχύει η ισότητα ;

Η ισότητα φαίνεται να ισχύει για τον z = -1

, όπως και για όλους τους $z = e^{i(2k +1)\pi}$ , όπου $k \in \mathrm{Z}.$

#4

Την είδαμε και εδώ:
viewtopic.php?f=51&t=38309
viewtopic.php?f=111&t=38415

Η ισότητα ισχύει αν-ν $\displaystyle{\displaystyle{ z=-1 \vee z=e^{\pm \frac{2\pi}{3}i}...}}$

#5

Μια και οι Ρουμάνοι μάς έδωσαν την ιδέα, ας την μεγαλώσουμε !

ΑΣΚΗΣΗ

Αν $z\in\mathbb C$ , να αποδείξετε ότι $|1+z|+|1+z+z^2|+|1+z^3|\geq 1$

Μπάμπης

#6

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Μια και οι Ρουμάνοι μάς έδωσαν την ιδέα, ας την μεγαλώσουμε !

ΑΣΚΗΣΗ

Αν $z\in\mathbb C$ , να αποδείξετε ότι $|1+z|+|1+z+z^2|+|1+z^3|\geq 1$

Μπάμπη, είναι απλούστερη από ότι φαίνεται: Αφού έχουμε δείξει ότι

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Να αποδειχθεί ότι για κάθε $z\in \mathbb C$ ισχύει η σχέση : $|z+1|+|z^2+z+1|\geq 1$ . Πότε ισχύει η ισότητα ;

έχουμε αμέσως

$|1+z|+|1+z+z^2|+|1+z^3|\geq |1+z|+|1+z+z^2|\geq 1$

Για την περίπτωση ισότητας, απλά ελέγχουμε την περίπτωση ισότητας της τελευταίας και κρατάμε όσες διατηρούν και την αρχική.

Μ.

Ανισότητα στο μέτρο μιγαδικού

Ανισότητα στο μέτρο μιγαδικού

Re: Ανισότητα στο μέτρο μιγαδικού

Re: Ανισότητα στο μέτρο μιγαδικού

Re: Ανισότητα στο μέτρο μιγαδικού

Re: Ανισότητα στο μέτρο μιγαδικού

Re: Ανισότητα στο μέτρο μιγαδικού

Μέλη σε σύνδεση