δύο γεωμετρικοί τόποι

Θεοδωρος Παγωνης · #1

Να βρείτε τους γεωμετρικούς τόπους των μιγαδικών αριθμών $\displaystyle{z}$ , $\displaystyle{w}$ για τους οποίους ισχύει : $\displaystyle{\left( 16|z{{|}^{2}}-2|z|+2 \right)\left( 2|w{{|}^{2}}-8|w|+40 \right)=62}$ .

PanosG · #2

Η πρώτη παρένθεση (ως τριώνυμο του |z|

) έχει ελάχιστο το $\displaystyle{\frac{31}{8}}$ όταν $\displaystyle{|z|=\frac{1}{16}}$

Η δεύτερη παρένθεση (ως τριώνυμο του |w|

) έχει ελάχιστο το $\displaystyle{32}$ όταν $\displaystyle{|w|=2}$
Άρα:
$\displaystyle{\left( 16|z{{|}^{2}}-2|z|+2 \right)\left( 2|w{{|}^{2}}-8|w|+40 \right)\geq 62}$ με την ισότητα αν:

$\displaystyle{|z|=\frac{1}{16}}$ και $\displaystyle{|w|=2}$

Άρα οι γεωμετρικοί τόποι των εικόνων των μιγαδικών z,w

είναι οι κύκλοι με κέντρο το $\displaystyle{(0,0)}$ και ακτίνες $\displaystyle{\frac{1}{16}}$ και $\displaystyle{2}$ αντίστοιχα.

gavrilos · #3

Το ελάχιστο της συνάρτησης $\displaystyle{f(x)=16x^{2}-2x+2}$ είναι το $\displaystyle{-\frac{\Delta _{f(x)}}{4a_{1}}=-\frac{-124}{32}=\frac{31}{8}}$ και λαμβάνεται για $\displaystyle{x=-\frac{b_{1}}{2a_{1}}=\frac{1}{16}}$ .

και το ελάχιστο της συνάρτησης $\displaystyle{g(x)=2x^{2}--8x+40}$ είναι το $\displaystyle{-\frac{\Delta _{g(x)}}{4a_{2}}=-frac{-96}{8}=16}$ .

Λαμβάνεται για $\displaystyle{x=-\frac{b_{2}}{2a_{2}}=2}$ .Το ελάχιστο επομένως της $\displaystyle{f(|z|)(g(|w|)}$ είναι το $\displaystyle{\frac{31}{8}\cdot 16=62}$ .

Επομένως $\displaystyle{|z|=\frac{1}{16}}$ και $\displaystyle{|w|=2}$ .

Ο γ.τ. των μιγαδικών $\displaystyle{z}$ είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο $\displaystyle{A(0,0)}$ και ακτίνα $\displaystyle{2}$ .

Ο γ.τ. των μιγαδικών $\displaystyle{w}$ είναι ο κύκλος κέντρου $\displaystyle{A(0,0)}$ και ακτίνας $\displaystyle{\frac{1}{16}}$ .

#4

Θεοδωρος Παγωνης έγραψε:Να βρείτε τους γεωμετρικούς τόπους των μιγαδικών αριθμών $\displaystyle{z}$ , $\displaystyle{w}$ για τους οποίους ισχύει : $\displaystyle{\left( 16|z{{|}^{2}}-2|z|+2 \right)\left( 2|w{{|}^{2}}-8|w|+40 \right)=62}$ .

....μιά προσπάθεια στην πρωτότυπη άσκηση του Θοδωρή....

Η συνάρτηση

$f(x)=16{{x}^{2}}-2x+2=16({{x}^{2}}-\frac{1}{8}x)+2=16({{x}^{2}}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{{{16}^{2}}}-\frac{1}{{{16}^{2}}})+2=$

$=16{{\left( x-\frac{1}{16} \right)}^{2}}-\frac{1}{16}+2=16{{\left( x-\frac{1}{16} \right)}^{2}}+\frac{31}{16}$

άρα ισχύει ότι $f(x)\ge \frac{31}{16},\,\,\,\,x\in R$ δηλαδή η

παρουσιάζει ελάχιστο το $\frac{31}{16}$ για $x=\frac{1}{16}$

Ακόμη για την συνάρτηση

$g(x)=2{{x}^{2}}-8x+40=2({{x}^{2}}-4x)+40=2({{x}^{2}}-4x+4-4)+40=2{{(x-2)}^{2}}+32$ άρα ισχύει ότι

$g(x)\ge 32,\,\,\,\,x\in R$ δηλαδή η συνάρτηση

παρουσιάζει ελάχιστο το

για

επομένως ισχύει

$f(x)g(x)\ge \frac{31}{16}32=61,\,\,\,\,x\in R$ και επειδή από την υπόθεση ισχύει f(|z|)g(|w|)=61

αναγκαία αυτό ισχύει όταν $|z|=\frac{1}{16},\,\,\,|w|=2$

οπότε οι γεωμετρικοί τόποι των εικόνων των μιγαδικών z,w

είναι ομόκεντροι κύκλοι κέντρου $O(0,\,\,0)$ και ακτινών $\frac{1}{16},\,\,\,2\,\,$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

STOPJOHN · #5

Καλημέρα σε όλους

Θεοδωρος Παγωνης έγραψε:Να βρείτε τους γεωμετρικούς τόπους των μιγαδικών αριθμών $\displaystyle{z}$ , $\displaystyle{w}$ για τους οποίους ισχύει : $\displaystyle{\left( 16|z{{|}^{2}}-2|z|+2 \right)\left( 2|w{{|}^{2}}-8|w|+40 \right)=62}$ .

Θέτουμε $\left|z \right|=\alpha ,\alpha \varepsilon R^{+},\left|w \right|=\beta ,\beta \varepsilon R^{+}$

Αρα η δοθείσα σχέση γράφεται, ως τριώνυμο με μεταβλητή το α

$(16\alpha ^{2}-2\alpha +2)(2\beta ^{2}-\beta 8+40)=62\Leftrightarrow 16(2\beta ^{2}-8\beta +40)\alpha ^{2}-(2\beta ^{2}-8\beta +40)\alpha +2(2\beta ^{2}-8\beta +40)-62=0 \Delta =-(2\beta ^{2}-8\beta +40)(\beta -2)^{2}\leq 0\Leftrightarrow \beta =2\Leftrightarrow \left|w \right|=2,$
$\left|z \right|=\frac{1}{16}$
Αρα οι ζητούμενοι γεωμετρικοί τόποι είναι δυο κύκλοι με κέντρα την αρχή των αξόνων και αντίστοιχες ακτίνες
$2,\frac{1}{16}$

Γιάννης

Θεοδωρος Παγωνης · #6

Καλημέρα. Ευχαριστώ όλους όσους ασχολήθηκαν με την άσκηση και έδωσαν τόσες ωραίες λύσεις.
Για να μην ευλογούμε τα γένια μας , να απαντήσω στον Βασίλη , ότι η άσκηση είναι παραλλαγή από διαγωνισμό της ΕΜΕ (2003-2004 Ευκλείδης , Β Λυκείου).
Κάνοντας προχθές μάθημα σε κάποια παιδάκια μου ήρθε η ιδέα να την "πειράξω" λίγο.

δύο γεωμετρικοί τόποι

δύο γεωμετρικοί τόποι

Re: δύο γεωμετρικοί τόποι

Re: δύο γεωμετρικοί τόποι

Re: δύο γεωμετρικοί τόποι

Re: δύο γεωμετρικοί τόποι

Re: δύο γεωμετρικοί τόποι

Μέλη σε σύνδεση