ΘΕΜΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

#1

...χαιρετώ την παρέα με ένα θέμα από γνωστό σχολείο που έγραψε άνας μαθητής μου, κυρίως για την αντίρρηση μου
στο Β3, που πιστεύω ότι στην θέση του... ή... έπρεπε ναι είναι ...και....να δούμε τι λέει η παρέα...

Έστω $z,w\,\,\in C$ με $z\ne 0$ , ώστε να ισχύει z+w=zw

Β1. Αν

να δείξετε ότι $R\,e\,(z)=\frac{1}{2}$ .

Β2. Να αποδείξετε ότι $\frac{1}{z}=1-\frac{1}{w}$ .

Β3. Να αποδείξετε ότι $|w|\le 2$ ή $|z|\le 2$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#2

Χρειαζόμαστε "ή"...

Πάρε π.χ. τους αριθμούς $\displaystyle{z=2014, \ w=\frac{2014}{2013}... }$

#3

Η δική μου σκέψη είναι:

Το συμπλήρωμα του "ή" είναι πως και |z|>2

και

Τότε από τη δοθείσα:

$\displaystyle{1 = \frac{1}{z} + \frac{1}{w} \Rightarrow 1 = \left| {\frac{1}{z} + \frac{1}{w}} \right| \le \frac{1}{{\left| z \right|}} + \frac{1}{{\left| w \right|}}\mathop < \limits^{\left( 1 \right)} \frac{1}{2} + \frac{1}{2}=1}$ , άτοπο.

Επομένως $|z|\le 2$ ή $|w|\le 2.$

Γιώργος Απόκης · #4

Aπλώς να συμπληρώσω με τα 2 πρώτα ερωτήματα

Β1. Από τη δοσμένη έχουμε

$\displaystyle{w-zw=-z\Rightarrow w(1-z)=-z\Rightarrow |w||1-z|=|-z|\overset{|w|=1}\Rightarrow|z-1|=|z|}$

δηλαδή οι εικόνες του $\displaystyle{z}$ ανήκουν στη μεσοκάθετο του τμήματος με άκρα τα $\displaystyle{(1,0),~(0,0)}$ δηλαδή την $\displaystyle{x=\frac{1}{2}}$

B2. Από τη δοσμένη έχουμε

$\displaystyle{z-wz=w\Rightarrow (1-w)z=w\Rightarrow z=\frac{w}{w-1}\Rightarrow \frac{1}{z}=\frac{w-1}{w}=1-\frac{1}{w}}$

maiksoul · #5

Καλησπέρα!Βασίλη...(αν και η απάντηση του Χρήστου ήταν η ποιο ενδεδειγμένη)...

αν μου επιτρέπεις μια ευθεία εξήγηση:

Αν $\displaystyle{ \,\,\,\left| z \right| = \left| w \right|\,\,\,:\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{{\left| z \right|}} + \frac{1}{{\left| w \right|}} \ge 1\,\,\, \Rightarrow \,\,\frac{2}{{\left| z \right|}} \ge 1 \Rightarrow \,\,\,\,\left| z \right| = \left| w \right| \le 2\,\,\,\,,\,\,\, }$

Αν $\displaystyle{ \begin{array}{l} \,\,\left| z \right| \succ \left| w \right|\,\, \Rightarrow \frac{1}{{\left| z \right|}} \prec \frac{1}{{\left| w \right|}}\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\frac{1}{{\left| z \right|}} + \frac{1}{{\left| w \right|}} \prec \frac{2}{{\left| w \right|}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \wedge \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{{\left| z \right|}} + \frac{1}{{\left| w \right|}} \ge 1\,\,\, \Rightarrow \,1 \prec \frac{2}{{\left| w \right|}}\,\,\, \Rightarrow \left| w \right|< \ 2\,\,\, \\ \\ \end{array} }$

Αν $\displaystyle{ \,\,\,\left| z \right| \prec \left| w \right|\,\, \Rightarrow \frac{1}{{\left| z \right|}} \succ \frac{1}{{\left| w \right|}}\,\,\,\, \Rightarrow \frac{2}{{\left| z \right|}}\,\, \succ \frac{1}{{\left| z \right|}} + \frac{1}{{\left| w \right|}}\,\,\,\,\,\,\,\, \wedge \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{{\left| z \right|}} + \frac{1}{{\left| w \right|}} \ge 1\,\,\, \Rightarrow \,1 \prec \frac{2}{{\left| z \right|}}\,\,\, \Rightarrow \left| z \right|< \ 2\,\,\, }$

Δηλαδή υπάρχει περίπτωση να συμβεί το ...και... αλλά δεν συμβαίνει πάντα !

evirnv · #6

πώς λύνεται το πρώτο υποερώτημα ;

#7

KAKABASBASILEIOS έγραψε: Έστω $z,w\,\,\in C$ με $z\ne 0$ , ώστε να ισχύει

Β1. Αν να δείξετε ότι $R\,e\,(z)=\frac{1}{2}$ .

Είναι αρκετά απλό, αρκεί να σκεφτείς το εξής: z=w(z-1)

. Μετά μετράρεις, τετραγωνάρεις και...

#8

Για το τελευταίο:
$z+w=zw\Leftrightarrow (z-1)(w-1)=1\Rightarrow |(z-1)(w-1)|=1$
Επομένως τουλάχιστον ένας από τους δύο μιγαδικούς ανήκει στον κυκλικό δίσκο κέντρου (1,0)

και ακτίνας

, ο οποίος περιέχεται στον δίσκο (O,2)

.

Γιώργος Απόκης · #9

evirnv έγραψε:πως λυνεται το πρωτο υποερωτημα ;;

Έχει λυθεί παραπάνω, με τον τρόπο περίπου που προτείνει ο Χρήστος

ΘΕΜΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΘΕΜΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΘΕΜΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΘΕΜΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΘΕΜΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΘΕΜΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΘΕΜΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΘΕΜΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΘΕΜΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Re: ΘΕΜΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

Μέλη σε σύνδεση