Βοήθεια στην επίλυση μιας άσκησης

sdhm · #1

Θα μπορούσατε να να με βοηθήσετε στην επίλυση μιας άσκησης ? (Διορθωμένο post σε Latex)

Εστω
$\displaystyle{ a_1 ,a_2 ,...,a_n \in (0, + \infty ){\rm }$ και ${\rm z}_{\rm 1} ,z_2 ,...,z_n \in {\rm C} }$
Αν ισχύει ότι : $\displaystyle{ \sum\limits_{i = 1}^{\rm n} {\frac{{\rm 1}}{{{\rm \alpha }_{\rm i} }}} = 1 }$

να δειχθεί ότι : $\displaystyle{ \left| {\sum\limits_{i = 1}^{\rm n} {z_i } } \right|^2 \le \sum\limits_{i = 1}^n {\alpha _i } \left| {z_i } \right|^2 }$

Ευχαριστώ

Δημήτρης
Μαθητής της Β' Λυκείου

#2

sdhm έγραψε: Εστω
$\displaystyle{ a_1 ,a_2 ,...,a_n \in (0, + \infty ){\rm }$ και ${\rm z}_{\rm 1} ,z_2 ,...,z_n \in {\rm C} }$
Αν ισχύει ότι : $\displaystyle{ \sum\limits_{i = 1}^{\rm n} {\frac{{\rm 1}}{{{\rm \alpha }_{\rm i} }}} = 1 }$

να δειχθεί ότι : $\displaystyle{ \left| {\sum\limits_{i = 1}^{\rm n} {z_i } } \right|^2 \le \sum\limits_{i = 1}^n {\alpha _i } \left| {z_i } \right|^2 }$

Καλώς ήλθες στο φόρουμ. Ελπίζω να το απολαύσεις.

Θα δώσω εκτενή υπόδειξη στην άσκηση για να χαρείς να την διεκπεραιώσεις μόνος σου.

Θα χρειαστείς την ανισότητα Cauchy-Schwarz που λέει $\left ( \sum\limits_{i = 1}^{\rm n} p_iq_i \right )^ 2\le \left ( \sum\limits_{i = 1}^{\rm n} p_i^2 \right ) \left ( \sum\limits_{i = 1}^{\rm n} q_i^2 \right )$ για $p_i, \, q_i \ge 0$ .

Λέμε τώρα

$\displaystyle{ \left| {\sum\limits_{i = 1}^{\rm n} {z_i } } \right|^2 \le \left (\sum\limits_{i = 1}^{\rm n} {|z_i| } } \right)^2 =\left ( \sum\limits_{i = 1}^n \frac {1}{\sqrt {\alpha _i}}\cdot {\sqrt {\alpha _i} } \left| {z_i } \right|\right )^2 \le ...}$

sdhm · #3

Ευχαραστώ πολύ για τη βοήθεια !!!

Δημήτρης

Βοήθεια στην επίλυση μιας άσκησης

Βοήθεια στην επίλυση μιας άσκησης

Re: Βοήθεια στην επίλυση μιας άσκησης

Re: Βοήθεια στην επίλυση μιας άσκησης

Μέλη σε σύνδεση