Βοήθεια στην επίλυση μιας άσκησης

Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης

sdhm
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Σάβ Οκτ 12, 2013 7:43 pm

Βοήθεια στην επίλυση μιας άσκησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sdhm » Κυρ Νοέμ 02, 2014 8:04 pm

Θα μπορούσατε να να με βοηθήσετε στην επίλυση μιας άσκησης ? (Διορθωμένο post σε Latex)


Εστω
\displaystyle{ 
a_1 ,a_2 ,...,a_n  \in (0, + \infty ){\rm  } και {\rm  z}_{\rm 1} ,z_2 ,...,z_n  \in {\rm  C} 
}
Αν ισχύει ότι : \displaystyle{ 
\sum\limits_{i = 1}^{\rm n} {\frac{{\rm 1}}{{{\rm \alpha }_{\rm i} }}}  = 1 
}

να δειχθεί ότι : \displaystyle{ 
\left| {\sum\limits_{i = 1}^{\rm n} {z_i } } \right|^2  \le \sum\limits_{i = 1}^n {\alpha _i } \left| {z_i } \right|^2  
}

Ευχαριστώ

Δημήτρης
Μαθητής της Β' Λυκείου


Δημήτρης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18255
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Βοήθεια στην επίλυση μιας άσκησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Νοέμ 02, 2014 8:58 pm

sdhm έγραψε: Εστω
\displaystyle{ 
a_1 ,a_2 ,...,a_n  \in (0, + \infty ){\rm  } και {\rm  z}_{\rm 1} ,z_2 ,...,z_n  \in {\rm  C} 
}
Αν ισχύει ότι : \displaystyle{ 
\sum\limits_{i = 1}^{\rm n} {\frac{{\rm 1}}{{{\rm \alpha }_{\rm i} }}}  = 1 
}

να δειχθεί ότι : \displaystyle{ 
\left| {\sum\limits_{i = 1}^{\rm n} {z_i } } \right|^2  \le \sum\limits_{i = 1}^n {\alpha _i } \left| {z_i } \right|^2  
}
Καλώς ήλθες στο φόρουμ. Ελπίζω να το απολαύσεις.

Θα δώσω εκτενή υπόδειξη στην άσκηση για να χαρείς να την διεκπεραιώσεις μόνος σου.

Θα χρειαστείς την ανισότητα Cauchy-Schwarz που λέει \left ( \sum\limits_{i = 1}^{\rm n} p_iq_i \right )^ 2\le \left ( \sum\limits_{i = 1}^{\rm n} p_i^2 \right ) \left ( \sum\limits_{i = 1}^{\rm n} q_i^2 \right ) για p_i, \, q_i \ge 0.

Λέμε τώρα

\displaystyle{ 
\left| {\sum\limits_{i = 1}^{\rm n} {z_i } } \right|^2  \le \left (\sum\limits_{i = 1}^{\rm n} {|z_i| } } \right)^2 =\left ( \sum\limits_{i = 1}^n \frac {1}{\sqrt {\alpha _i}}\cdot {\sqrt {\alpha _i} } \left| {z_i } \right|\right )^2 \le ...}


sdhm
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Σάβ Οκτ 12, 2013 7:43 pm

Re: Βοήθεια στην επίλυση μιας άσκησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sdhm » Κυρ Νοέμ 02, 2014 9:06 pm

Ευχαραστώ πολύ για τη βοήθεια !!!

Δημήτρης


Δημήτρης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης