Ισόπλευρο τρίγωνο

Aladdin · #1

Έστω οι μιγαδικοί $\displaystyle{{z_1},{z_2},{z_3}}$ με εικόνες κορυφές ισόπλευρου τριγώνου
α) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{{z_2} - {z_1} = \left( {\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{3} + i\eta \mu \frac{\pi }{3}} \right)\left( {{z_3} - {z_1}} \right)}$
β) Σύμφωνα με το α) ερώτημα να αποδείξετε ότι $\displaystyle{{z_1}^2 + {z_2}^2 + {z_3}^2 = {z_1}{z_2} + {z_3}{z_1} + {z_2}{z_3}}$

#2

Aladdin έγραψε:Έστω οι μιγαδικοί $\displaystyle{{z_1},{z_2},{z_3}}$ με εικόνες κορυφές ισόπλευρου τριγώνου
α) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{{z_2} - {z_1} = \left( {\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{3} + i\eta \mu \frac{\pi }{3}} \right)\left( {{z_3} - {z_1}} \right)}$
β) Σύμφωνα με το α) ερώτημα να αποδείξετε ότι $\displaystyle{{z_1}^2 + {z_2}^2 + {z_3}^2 = {z_1}{z_2} + {z_3}{z_1} + {z_2}{z_3}}$

Μία εκτός ύλης.
α) $\displaystyle{\theta = Arg({z_2} - {z_1}),\varphi = Arg({z_3} - {z_1}),\theta - \varphi = \frac{\pi }{3}}$
Άρα: $\displaystyle{Arg({z_2} - {z_1}) - Arg({z_3} - {z_1}) = \frac{\pi }{3} = Arg\left( {\frac{{{z_2} - {z_1}}}{{{z_3} - {z_1}}}} \right) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\frac{{{z_2} - {z_1}}}{{{z_3} - {z_1}}} = \left| {\frac{{{z_2} - {z_1}}}{{{z_3} - {z_1}}}} \right|\left( {\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{3} + i\eta \mu \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \frac{{{z_2} - {z_1}}}{{{z_3} - {z_1}}} = \sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{3} + i\eta \mu \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow }$

$\boxed{{z_2} - {z_1} = \left( {\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{3} + i\eta \mu \frac{\pi }{3}} \right)({z_3} - {z_1})}$

: Ισόπλευρο τρίγωνο.png (7.63 KiB) Προβλήθηκε 1035 φορές

β) Ομοίως $\displaystyle{\frac{{{z_3} - {z_2}}}{{{z_1} - {z_2}}} = \sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{3} + i\eta \mu \frac{\pi }{3}}$

Άρα: $\displaystyle{\frac{{{z_3} - {z_2}}}{{{z_1} - {z_2}}} = \frac{{{z_2} - {z_1}}}{{{z_3} - {z_1}}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{{z_1}^2 + {z_2}^2 + {z_3}^2 = {z_1}{z_2} + {z_3}{z_1} + {z_2}{z_3}}$

STOPJOHN · #3

Aladdin έγραψε:Έστω οι μιγαδικοί $\displaystyle{{z_1},{z_2},{z_3}}$ με εικόνες κορυφές ισόπλευρου τριγώνου
α) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{{z_2} - {z_1} = \left( {\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{3} + i\eta \mu \frac{\pi }{3}} \right)\left( {{z_3} - {z_1}} \right)}$
β) Σύμφωνα με το α) ερώτημα να αποδείξετε ότι $\displaystyle{{z_1}^2 + {z_2}^2 + {z_3}^2 = {z_1}{z_2} + {z_3}{z_1} + {z_2}{z_3}}$

α) Καλησπέρα
Για το πρώτο ερώτημα θέτουμε $a=z_{2}-z_{1},\beta =z_{1}-z_{3},\gamma =z_{3}-z_{2}, v=\dfrac{a}{\beta }$ .

$\alpha +\beta +\gamma =0,(1) \left|\alpha \right|=\left|\beta \right|=\left|\gamma \right|,(2)$
$(1),(2)\Rightarrow$
$\left|v \right|=1,(*) \left|v+1 \right|=1,(**)$
Από το σχήμα η τομή των δυο κύκλων κόκκινου και μπλέ είναι οι εικόνες του μιγαδικού αριθμού

$v=\dfrac{-1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i,v=\dfrac{-1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$

Συνεπώς καταλήγουμε $a=(\sigma \upsilon \nu \dfrac{\pi }{3}+i\eta \mu \dfrac{\pi }{3})(-\beta ), a=(\sigma \upsilon \nu \dfrac{\pi }{3}+i\eta \mu \dfrac{\pi }{3})\beta$
$z_{2}-z_{1}=(\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{3}+i\eta \mu \frac{\pi }{3})(z_{3}-z_{1}), z_{2}-z_{1}=(\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{3}+i\eta \mu \frac{\pi }{3})(z_{1}-z_{3})$

β) Για το δεύτερο ερώτημα η σχέση που θα αποδειχθεί γράφεται
$(z_{1}-z_{2})^{2}+(z_{1}-z_{3})^{2}+(z_{3}-z_{2})^{2}=0\Leftrightarrow \alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=0$

Απο το πρώτο ερώτημα ,ισχύουν $\alpha ^{2}=\beta \gamma ,\beta ^{2}=\alpha \gamma ,\gamma ^{2}=\alpha \beta$

Δηλαδή $a ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=\alpha \beta +\beta \gamma +\alpha \gamma =\alpha (\beta +\gamma )+\alpha \gamma =a(-a)+\beta \gamma =0$

ΥΓ. Προφανώς το πρώτο ερώτημα της άσκησης χρειάζεται ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ,όπως φαίνεται στη λύση

φιλικά

Γιάννης

Ισόπλευρο τρίγωνο

Ισόπλευρο τρίγωνο

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο

Re: Ισόπλευρο τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση