Αναστάσιμη

erxmer · #1

Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός

και η συνάρτηση $f(z)=z+i\bar{z}$ .

1) Αν $z \neq 0$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\left|\frac{f(z)}{z} \right| \leq 2}$

2) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών

, για τους οποίους ισχύει f(z)=0

.

3) Αν $f(z) \neq 0$ , να βρείτε τον αριθμό: $\displaystyle{\left(\frac{\bar{f(z)}}{f(z)} \right)^{2015}}$

4) Αν ισχύει $\displaystyle{f(z)+\bar{f(z)}=4}$ , να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών

και την ελάχιστη τιμή του |z|

Tolaso J Kos · #2

Χρόνια πολλά...

α)
$\displaystyle{\begin{aligned} \left | \frac{f(z)}{z} \right | &=\left | \frac{z+i\bar{z}}{z} \right | \\ &=\left | 1+i \frac{\bar{z}}{z} \right | \\ &\leq 1+\left | i \frac{\bar{z}}{z} \right | \\ &=1+\left | i \right |\left | \frac{\bar{z}}{z} \right | \\ &=1+1=2 \end{aligned}}$

Έγινε χρήση της ταυτότητας $\displaystyle{\left | z \right |=\left | \bar{z} \right |}$ .

β)
$\displaystyle{\begin{aligned} f(z)=0 &\Leftrightarrow z+i \bar{z}=0 \\ &\overset{z=x+i y , \; x , \;y \;\in \mathbb{R}}{ \Leftarrow\!=\!=\!=\!=\!=\!\!\Rightarrow }\left ( x+iy \right )+i(x-iy)=0 \\ &\Leftrightarrow x(i+1)+y(i+1)=0 \\ &\Leftrightarrow (i+1)(x+y)=0 \\ &\overset{i+1\neq 0}{\Leftarrow\!=\!=\!=\!=\!\!\Rightarrow} y=-x \end{aligned}}$

'Αρα ο γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία $(\varepsilon): y=-x$ .

γ. 'Εχουμε διαδοχικά:
$\displaystyle{\begin{aligned} \left ( \frac{\overline{f(z)}}{f(z)} \right )^{2015} &=\left ( \frac{\bar{z}-iz}{z+i\bar{z}} \right )^{2015} \\ &= \left ( \frac{1}{i}\cdot \cancel{\frac{\bar{z}-iz}{\bar{z}-iz}} \right )^{2015}\\ &= \frac{1}{i^{2015}}\\ &= -\frac{1}{i}\\ &= i \end{aligned}}$

δ. Διαδοχικά έχουμε:
$\displaystyle{\begin{aligned} f(z)+\overline{f(z)}=4&\Leftrightarrow z+i\bar{z}+ \bar{z}- i z=4\\ &\Leftrightarrow 2\mathfrak{Re}(z) +i \left (\bar{z}-z \right )=4\\ &\Leftrightarrow 2\mathfrak{Re}(z)-2i^2 \mathfrak{Im}(z)=4 \\ &\Leftrightarrow \mathfrak{Re}(z)+\mathfrak{Im}(z)=2 \end{aligned}}$

Συνεπώς οι εικόνες του μιγαδικού

κινούνται πάνω στην ευθεία $(\delta): x+y=2$ .
Οπότε το ελάχιστο μέτρο του μιγαδικού

από την αρχή των αξόνων είναι ίσο με την απόσταση της ευθείας από την αρχή των αξόνων, δηλ. το σημείο ${\rm O}(0, 0)$ και δίδεται του τύπου: $\displaystyle{{\rm d}\left ( \delta, {\rm O} \right )=\frac{\left | 1\cdot 0 +1 \cdot 0 -2 \right |}{\sqrt{1+1}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}}$ .

Αναστάσιμη

Αναστάσιμη

Re: Αναστάσιμη

Μέλη σε σύνδεση