Θέμα Β

M.S.Vovos · #1

Κύριοι, πριν γράψετε οτιδήποτε, θα ήθελα να πω πως το έχω 10φορές ελεγξει. Θεωρώ ότι είναι αρκετά πιθανό θέμα, ειδικά για επαναληπτκές.

Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός

, που ικανοποιεί την σχέση $\left | z+2i \right |=1+2Im(z)$ .

B.1 Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του

.

Β.2 Να δείξετε ότι $\left | z+2i \right |-\left | z-2i \right |=2$ .

B.3 Να δείξετε ότι $\left | z^{2}+4 \right |=2+\left | z \right |^{2}$ . Στη συνέχεια, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών $w=z^{2}+2$ .

B.4 Αν $z_{1},z_{2}$ δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς

και ισχύει $\left | z_{1}-z_{2} \right |=\sqrt{3}$ , να δείξετε ότι $\left | z_{1}+z_{2} \right |\geq 1$ .

#2

M.S.Vovos έγραψε:Κύριοι, πριν γράψετε οτιδήποτε, θα ήθελα να πω πως το έχω 10φορές ελεγξει. Θεωρώ ότι είναι αρκετά πιθανό θέμα, ειδικά για επαναληπτκές.

Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός , που ικανοποιεί την σχέση $\left | z+2i \right |=1+2Im(z)$ .

B.1 Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του .

Β.2 Να δείξετε ότι $\left | z+2i \right |-\left | z-2i \right |=2$ .

B.3 Να δείξετε ότι $\left | z^{2}+4 \right |=2+\left | z \right |^{2}$ . Στη συνέχεια, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών $w=z^{2}+2$ .

B.4 Αν $z_{1},z_{2}$ δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς και ισχύει $\left | z_{1}-z_{2} \right |=\sqrt{3}$ , να δείξετε ότι $\left | z_{1}+z_{2} \right |\geq 1$ .

B1. Θέτοντας $\displaystyle{z=x+yi,~x,y\in \mathbb{R}}$ είναι

$\displaystyle{|z+2i|=1+2\rm Im(z)\iff \sqrt{x^2+(y+2)^2}=1+2y\iff x^2+(y+2)^2=(1+2y)^2\wedge y\geq -\frac{1}{2}\iff x^2=3y^2-3, y\geq 1.}$

: hyperbel.png (6.2 KiB) Προβλήθηκε 1133 φορές

B2. Είναι

$\displaystyle{|z-2i|=\sqrt{x^2+(y-2)^2}=\sqrt{3y^2-3+y^2-4y+4}=|2y-1|=2y-1, }$ αφού $\displaystyle{y\geq 1.}$

Το ζητούμενο έπεται.

Β3. $\displaystyle{|z^2+4|=|z+2i||z-2i|=(2y+1)(2y-1)=4y^2-1=y^2+3y^2-1=y^2+x^2+3-1=x^2+y^2+2=|z|^2+2.}$

Από τη σχέση αυτή φαίνεται ότι ο γεωμετρικός τόπος του μιγαδικού $\displaystyle{w}$ θα βρεθεί από τη σχέση $\displaystyle{|w+2|-|w-2|=2.}$

Πρόκειται για τον δεξιό κλάδο της υπερβολής $\displaystyle{x^2-\frac{y^2}{3}=1.}$ (Παρατηρήστε την αναλογία μεταξύ των δύο εξισώσεων $\displaystyle{|z+2i|-|z-2i|=2}$ και $\displaystyle{|w+2|-|w-2|=2.}$ Το μόνο που αλλάζει είναι ότι τώρα οι εστίες βρίσκονται στον άξονα $\displaystyle{x'x.}$ )

: hyperbel2.png (4.18 KiB) Προβλήθηκε 1133 φορές

B4. Φανερά είναι $\displaystyle{|z_1|,|z_2|\geq 1,}$ οπότε από την

$\displaystyle{|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2(|z_1|^2+|z_2|^2)}$ προκύπτει η ζητούμενη.

Θέμα Β

Θέμα Β

Re: Θέμα Β

Μέλη σε σύνδεση