'Ενα Διαγώνισμα στους Μιγαδικούς

#1

Ανεβάζω τα θέματα ενός διαγωνίσματος στο κεφάλαιο των Μιγαδικών που έγραψαν οι μαθητές μου της Θετικής Κατεύθυνσης την Πέμπτη 21-10. Συνηθίζω να βάζω ένα "ωριαίο" (45λεπτά) διαγώνισμα σε κάθε κεφάλαιο που γράφεται συνήθως 3 εβδομάδες από την στιγμή που θα τελειώσει το κεφάλαιο. Φυσικά ένα μόνο από αυτά, σύμφωνα με τον νόμο, μπορεί να θεωρηθεί "επίσημο". Πάντα τα διαγωνίσματα αυτά έχουν δύο ασκήσεις και πάντα το πρώτο ερώτημα αυτών των ασκήσεων είναι παρμένο από το σχολικό βιβλίο. Ο απώτερος στόχος είναι να κάνουν τα παιδιά μια πρώτη, βασική επανάληψη και να ελέγχουν τα του σχολικού βιβλίου. Πιο σύνθετα θέματα βάζουμε στα δύο τρίωρα διαγωνίσματα που γράφουμε στο σχολείο από κοινού όλοι οι διδάσκοντες.

ZHTHMA 1
Δίνεται η εξίσωση
$2x^{2}+\beta x+\gamma =0$ , $\beta ,\gamma \in \mathbb{R}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$
Να βρείτε τις τιμές των $\beta ,\gamma$ στις ακόλουθες περιπτώσεις:
1) Mία ρίζα της (1) είναι ο 3+2i

.
2) Η (1) έχει ρίζες τους

, $z^{2}$ με $z\in \mathbb{C-R}$

ZHTHMA 2
Δίνεται η σχέση
$\left| z-i\right| =1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$
1) Nα βρείτε που ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών

που ικανοποιούν την (2).
2) α) Nα βρείτε ποιός από τους μιγαδικούς που ικανοποιούν την (2) έχει μεγαλύτερο πραγματικό μέρος.
β) Για τους μιγαδικούς αριθμούς $z_{1},z_{2},z_{3}$ είναι γνωστό ότι ικανοποιούν την (2). Να αποδείξετε ότι
$\displaystyle{\left| \frac{z_{1}+z_{2}+z_{3}}{3}-i\right| \leq 1}$

Μαυρογιάννης

#2

καλημέρα σε όλους
Νίκο αν κάποιος μαθητής έγραφε : o $\displaystyle{ \frac{z_1+z_2+z_3}{3} }$ εχει για εικόνα το βαρύκεντρο όταν οι $\displaystyle{ z_1,z_2,z_3 }$ σχηματίζουν τρίγωνο αρα βρίσκεται εντός του τριγώνου , οπότε και του περιγεγραμμένου του κύκλου, και πάνω στην περιφέρεια μόνον όταν $\displaystyle{ z_1=z_2=z_3}$ συνεπώς το ζητούμενο ισχύει ΤΙ ΒΑΘΜΟ θα έπαιρνε αυτός?

#3

Καλή σας μέρα
Ροδόλφε αυτή είναι μία εξαιρετική απάντηση αλλά χρειάζεται να ενισχυθεί με κάτι ακόμη: Να εξετασθεί και η περίπτωση όπου οι εικόνες των τριών μιγαδικών να μην ορίζουν τρίγωνο δηλαδή α) και οι τρεις να συμπίπτουν β) Οι δύο (λ.χ. οι $z_{2}, z_{3}$ ) να συμπίπτουν. Ο χειρισμός της περίπτωσης β) έχει κάποια δυσκολία μιας και τότε η εικόνα του

ανήκει στην χορδή των εικόνων των $z_{1}, z_{2}$ αλλά εδώ χρειάζεται κάποιο επιχείρημα. Σε κάθε περίπτωση πάντως θεωρώ ότι θα έπρεπε να πάρει πάνω από τα 3/4 της συνολικής βαθμολογίας.
Μαυρογιάννης

dennys · #4

λοιπον για ριζες 2+3ι και 2-3ι

απο τυπους VIETA παιρνουμε β=-12 και γ=44 'η αφου 2+3ι ριζα θα επαληθευει την εξισωση και ευκολα με συστημα βρισκει κανεις τα β.γ.
τωρα επειδη z και z^2 ριζες και οι συντελεστες πραγματικοι αριθμοι πρεπει z= z^2 συζυγη και για z=x+ψι βρισκουμε
χ=-1/2 και ψ=+ριζα3/2 και -ριζα3/2
απο τισ ριζες με vieta βρισκω τα β,γ.
φιλικα

Ιστοσελίδα · #5

nsmavrogiannis έγραψε:Πάντα τα διαγωνίσματα αυτά έχουν δύο ασκήσεις και πάντα το πρώτο ερώτημα αυτών των ασκήσεων είναι παρμένο από το σχολικό βιβλίο

Πολύ μου άρεσε η ιδέα αυτή του Νίκου όταν την διάβασα πρώτη φορά στην ιστοσελίδα του http://www.nsmavrogiannis.gr/ . Από τότε την εφαρμόζω και εγώ στα διαγωνίσματα. Σε μερικές περιπτώσεις το δοκιμάσαμε και στις εξετάσεις Ιουνίου στο Σχολείο.
Νομίζω ότι αυτή η ιδέα έχει μόνο πλεονεκτήματα.
Στη σελίδα του Νίκου θα βρείτε όλα τα διαγωνίσματα των προηγούμενων χρόνων όπως και πολύ ακόμα υλικό.
Μίλτος

Μάκης Χατζόπουλος · #6

Με ανάλογο σκεπτικό, αλλά διαφορετικό στην δομή του, είναι και το δικό μου διαγώνισμα. Νίκο αν δεν έχει πρόβλημα, για να μην ανοίξω άλλο θέμα, το βάζω εδώ...

Θέμα 1ο

Αν z = α + β i με α, β R, είναι ένας μιγαδικός αριθμός, να γράψετε στο τετράδιο σας τα γράμματα της Στήλης Ι του επόμενου πίνακα, και δίπλα σε κάθε γράμμα τον αριθμό της Στήλης ΙΙ που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
(Σημείωση: Από την στήλη ΙΙ θα περισσέψουν επιλογές.)
Στήλη Ι

A. Re(z)
Β. Im(z)
Γ. -z
Δ. $\displaystyle{\bar z}$
Ε. $\displaystyle{\left| z \right|}$
ΣΤ. $\displaystyle{z \cdot \overline z }$

Στήλη ΙΙ
1. -α - βi
2. α - βi
3. α + β
4. α
5. $\displaystyle{{\alpha ^2} - {\beta ^2}}$
6. $\displaystyle{\sqrt {{{\rm{\alpha }}^{\rm{2}}} + {{\rm{\beta }}^{\rm{2}}}} {\rm{ }}}$
7. $\displaystyle{{\alpha ^2} + {\beta ^2}}$
8. –α + βi
9 β
10. βi

Θέμα 2ο
Έστω οι μιγαδικοί $\displaystyle{z \in R}$ και $\displaystyle{f\left( z \right) = \frac{{z - 1}}{{z - 2i}}}$
α. Να βρείτε τις τιμές του z που ορίζεται η συνάρτηση f.
β. Βρείτε τους αριθμούς $\displaystyle{{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {f\left( z \right)} \right),{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {f\left( z \right)} \right)}$
γ. Αν f(z) είναι φανταστικός αριθμός, βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z.
δ. Αν f(z) είναι πραγματικός αριθμός, βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z.
ε. Τέλος, αν $\displaystyle{\left| {f\left( {\overline z } \right)} \right| < 1}$ , βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του $\displaystyle{\overline z }$

Και εγώ έχω δανειστεί την σκέψη του Νίκου για ένα θέμα από το βιβλίο, με ίσως κάποια εξτρά ερωτήματα ή λίγο διαφοροποιημένα ερωτήματα.

Τι σας θυμίζει το θέμα 2; Είναι δική μου επιμέλεια αλλά γι' αυτούς που ξεκοκαλίζουν το βιβλίο θα το αντιληφθούν γρήγορα!!
Φυσικά θα μπορούσα να του προσθέσω και με άλλα υποερωτήματα (όπως μέτρο min, max κτλ) αλλά ήδη πιστεύω ότι είναι πολλά.
Πως τα βλέπετε τα θέματα; Είναι (ήταν) καλά για 45 λεπτά;

lonis · #7

Για το Ζήτημα 2, στο 2β), έχουμε:

$\left| {{z_1} + {z_2} + {z_3} - 3i} \right| = \left| {({z_1} - i) + ({z_2} - i) + ({z_3} - i)} \right|$ $\le \left| {{z_1} - i} \right| + \left| {{z_2} - i} \right| + \left| {{z_3} - i} \right| = 3$

άρα $\left| {\frac{{{z_1} + {z_2} + {z_3}}}{3} - i} \right| \le 1$

Για το 2 από το Ζήτημα 1, αν z είναι λύση της εξίσωσης (αντικατέστησα τα β, γ με b, c), θα ισχύουν:

$2{z^2} + bz + c = 0$ (1)

και $2{z^4} + b{z^2} + c = 0$

από όπου παίρνουμε $2{z^4} + b{z^2} = 2{z^2} + bz$

και, αφού παραγοντοποιήσουμε: $z(z - 1)(2{z^2} + 2z + b) = 0$

Όμως ο z δεν είναι πραγματικός, άρα $2{z^2} + 2z + b = 0$ (2)

που σε συνδυασμό με την (1) οδηγεί στην ισότητα bz + c = 2z + b

δηλαδή στην (b - 2)z = b - c

.

Αν $b \ne 2$ , τότε $z = \frac{{b - c}}{{b - 2}}$ και ο z είναι πραγματικός, άτοπο.

Έτσι b = c = 2

.

Επαλήθευση: Η εξίσωση γινεται ${z^2} + z + 1 = 0$

με ρίζες ${z_{1,2}} = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 3 }}{2}$ .

Για τις ρίζες, θα ισχύει και $(z - 1)({z^2} + z + 1) = 0$

απ' όπου ${z^3} = 1$ .

Έτσι, για καθεμιά από τις δύο ρίζες που βρήκαμε, θα έχουμε και

${z^4} + {z^2} + 1 = z + {z^2} + 1 = 0$

οπότε και τα τετράγωνά τους είναι επίσης λύσεις της αρχικής δευτεροβάθμιας.

Τελικά b = c = 2

είναι οι τιμές που ζητούσαμε.

Λεωνίδας Θαρραλίδης

EDIT: Η (2) προκύπτει πολύ συντομότερα από τους τύπους του Vieta. Θα δω για κομψότερη λύση...

lonis · #8

Συμβολίζουμε όπως στον πρώτο τρόπο, με z τη μία ρίζα της εξίσωσης. Επειδή οι συντελεστές της εξίσωσης είναι πραγματικοί, οι ρίζες είναι συζυγείς. Έχουμε διαδοχικά:

${z^2} = \bar z$ (1)

άρα και $\left| {{z^2}} \right| = \left| {\bar z} \right|$

δηλαδή ${\left| z \right|^2} = \left| z \right|$ .

Αφού ο z δεν είναι πραγματικός (επομένως έχει μη μηδενικό μέτρο): $\left| z \right| = 1$ .

Έτσι $\bar z = \frac{1}{z}$ και η (1) γράφεται

${z^2} = \frac{1}{z}$ άρα

${z^3} = 1$ , οπότε

$(z - 1)({z^2} + z + 1) = 0$ .

Όμως $z\neq 1.$

Συμπεραίνουμε ότι ${z^2} + z + 1 = 0$ και μπορούμε να συνεχίσουμε ως εξής:

1) Βρίσκουμε τις ρίζες της ${x^2} + x + 1 = 0$ \displaystyle{ και διαπιστώνουμε ότι:

z_1^2 = {z_2} και

z_2^2 = {z_1} . Με τύπους Vieta, βρίσκουμε ότι

b = c = 2

{x^2} + x + 1 = 0}

και

${x^2} + \frac{b}{2}x + \frac{c}{2} = 0$

έχουν ακριβώς τις ίδιες ρίζες οπότε $\frac{b}{2} = \frac{c}{2} = 1$

συνεπώς b = c = 2

.

Λεωνίδας Θαρραλίδης

lonis · #9

Ίσως σας κούρασα, αλλά κάπως πρέπει να βγάλω κι εγώ το ψωμί μου...

Μια διαφορετική προσέγγιση, που κρύβει μέσα της μια νέα άσκηση:

"Να βρείτε τους μη πραγματικούς μιγάδες z, για τους οποίους οι ${z^2} + z$ και ${z^3}$ είναι πραγματικοί"

Από τους τύπους του Vieta, έχουμε για τις ρίζες της εξίσωσης

${z^2} + z = - \frac{b}{2}$ και $z \cdot {z^2} = \frac{c}{2}$ .

Συμπεραίνουμε ότι οι ${z^2} + z$ και ${z^3}$ είναι πραγματικοί αριθμοί. Είναι, λοιπόν, ίσοι με τους συζυγείς τους:

${z^2} + z = {\bar z^2} + \bar z$

και ${z^3} = {\bar z^3}$ .

Αφού $z - \bar z \ne 0$ ( ο z δεν είναι πραγματικός), μεταφέροντας τους όρους στο πρώτο μέλος και παραγοντοποιώντας, παίρνουμε:

$z + \bar z = - 1$ (1) και

${z^2} + z\bar z + {\bar z^2} = 0$ (2).

Η τελευταία γράφεται και ${(z + \bar z)^2} = z\bar z$ και, λόγω της (1), δίνει $\left| z \right| = 1$ .

Οι (1) και (2) γίνονται ${\mathop{\rm Re}\nolimits} (z) = - \frac{1}{2}$ και ${\mathop{\rm Re}\nolimits} ({z^2}) = - \frac{1}{2}$ .

Με αλγεβρική μορφή z = x + yi

, παίρνουν τη μορφή

$x = - \frac{1}{2}$ και ${x^2} - {y^2} = - \frac{1}{2}$ αντίστοιχα.

Λύνοντας την τελευταία, βρίσκουμε $y = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ και τις γνωστές ρίζες. Μετά, τύποι Vieta κλπ.

Λεωνίδας

#10

Σας ευχαριστώ για την ενασχόληση. Η λύση που είχα κατά νου για το 1β ήταν εκείνη που δίνει (στην συνοπτική λύση του ο dennys). Λεωνίδα ωραίες οι επεκτάσειςευχαριστώ.
Φυσικά η ιδέα πίσω από το 2-2-β είναι αυτή που αναφέρει ο Ροδόλφος για το κέντρο βάρους αλλά η "επίσημη" λύση είναι αυτή του Λεωνίδα.
Με αφορμή το σχόλιο του Μίλτου θα ήθελα να (ξανα)πω ότι συνιστώ στους μαθητές μου (και πιέζω) να:
-Λύσουν όλες τις ασκήσεις του βιβλίου,
-Λύσουν όλα τα θέματα των Πανελληνίων και τα κατάλληλα από τις Δέσμες
και αφού το κάνουν αυτό να ασχοληθούν με ότι επιπλέον τους δίνω εγώ ή οι άλλοι καθηγητές που ενδεχομένως τους διδάσκουν. Τους πιο φιλόδοξους και ικανούς όμως τους συμβουλεύω να πάρουν ένα βοήθημα και να λύσουν όλες τις ασκήσεις (καλά διαβάσατε: όλες. Πολλοί μαθητές το κάνουν). Οι εξετάσεις (όπως και ο επαγγελματικός βίος εν γένει) απαιτούν συστηματική δουλειά και αποθαρρύνω τους μαθητές από το να ενδίδουν σε κελεύσματα του τύπου "Αστο πάνω μου. Έχω εκατό σίγουρα".
Μαυρογιάννης

'Ενα Διαγώνισμα στους Μιγαδικούς

'Ενα Διαγώνισμα στους Μιγαδικούς

Re: 'Ενα Διαγώνισμα στους Μιγαδικούς

Re: 'Ενα Διαγώνισμα στους Μιγαδικούς

Re: 'Ενα Διαγώνισμα στους Μιγαδικούς

Re: 'Ενα Διαγώνισμα στους Μιγαδικούς

Re: 'Ενα Διαγώνισμα στους Μιγαδικούς

Re: 'Ενα Διαγώνισμα στους Μιγαδικούς

Re: 'Ενα Διαγώνισμα στους Μιγαδικούς

Re: 'Ενα Διαγώνισμα στους Μιγαδικούς

Re: 'Ενα Διαγώνισμα στους Μιγαδικούς

Μέλη σε σύνδεση