Άσκηση Μιγαδικών

christodoulou · #1

Δίνονται μιγαδικοί αριθμοί

και

και πραγματικός αριθμός $\rho$ , με $\rho >0$ και $\rho\neq 1$ , για τους οποίους ισχύουν :
$\left|z-\rho ^{2}i \right|=\rho \left|z-i \right|$ και $z\left(w-2i \right)=2\rho ^{2}+wi$ .

i) Να αποδείξετε ότι : $\left|z+w+\rho ^{2}i \right|=\frac{1}{2}\left|w+4z-zwi\right|$

ii) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $u=\frac{2z-w}{2z+w}$ είναι φανταστικός.

#2

...να την δούμε και αυτή....

ι) Από $\left| z-{{\rho }^{2}}i \right|=\rho \left| z-i \right|$ έχουμε ότι ${{\left| z-{{\rho }^{2}}i \right|}^{2}}={{\rho }^{2}}{{\left| z-i \right|}^{2}}\Leftrightarrow (z-{{\rho }^{2}}i)(\bar{z}+{{\rho }^{2}}i)={{\rho }^{2}}(z-i)(\bar{z}+i)$ ή

$z\bar{z}+z{{\rho }^{2}}i-\bar{z}{{\rho }^{2}}i+{{\rho }^{4}}={{\rho }^{2}}z\bar{z}+{{\rho }^{2}}zi-{{\rho }^{2}}\bar{z}i+{{\rho }^{2}}\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{2}}-{{\rho }^{2}}{{\left| z \right|}^{2}}+{{\rho }^{4}}-{{\rho }^{2}}=0$ ή

${{\left| z \right|}^{2}}(1-{{\rho }^{2}})-{{\rho }^{2}}(1-{{\rho }^{2}})=0\Leftrightarrow (1-{{\rho }^{2}})({{\left| z \right|}^{2}}-{{\rho }^{2}})=0$ απ όπου επειδή $\rho \ne 1$ προκύπτει ότι $\left| z \right|=\rho$

Τώρα από $z\left( w-2i \right)=2{{\rho }^{2}}+wi$ έχουμε ότι $zw-2zi-2{{\rho }^{2}}-wi=0\Leftrightarrow w(z-i)-2zi-2z\bar{z}=0\Leftrightarrow$

$w(z-i)=2z(i+\bar{z})$ απ όπου $\left| w(z-i) \right|=\left| 2z(i+\bar{z}) \right|\Leftrightarrow \left| w \right|\left| z-i \right|=2\left| z \right|\left| i+\bar{z} \right|=2\left| z \right|\left| \overline{z-i} \right|$ και επειδή

$\rho \ne 1$ και $\left| z \right|=\rho$ προκύπτει ότι $\left| w \right|=2\rho$ επομένως από $\left| z+w+{{\rho }^{2}}i \right|=\left| \overline{z+w+{{\rho }^{2}}i} \right|=\left| \bar{z}+\bar{w}-{{\rho }^{2}}i \right|=\left| \frac{{{\rho }^{2}}}{z}+\frac{4{{\rho }^{2}}}{w}-{{\rho }^{2}}i \right|=$

${{\rho }^{2}}\left| \frac{1}{z}+\frac{4}{w}-i \right|={{\rho }^{2}}\left| \frac{w+4z-zwi}{zw} \right|=\frac{1}{2}\left| w+4z-zwi \right|$

ιι)Αρκεί να ισχύει ότι $\bar{u}=-u$ και είναι $\bar{u}=\frac{2\bar{z}-\bar{w}}{2\bar{z}+\bar{w}}=\frac{\frac{2{{\rho }^{2}}}{z}-\frac{4{{\rho }^{2}}}{w}}{\frac{2{{\rho }^{2}}}{z}+\frac{4{{\rho }^{2}}}{w}}=\frac{\frac{1}{z}-\frac{2}{w}}{\frac{1}{z}+\frac{2}{w}}=-u$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Άσκηση Μιγαδικών

Άσκηση Μιγαδικών

Re: Άσκηση Μιγαδικών

Μέλη σε σύνδεση