Πολυώνυμα και μιγαδικοί

erxmer · #1

Δίνεται η συνάρτηση f(z)=az^3+bz^2+cz+d

με $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ . Oι συντελεστές του πολυωνύμου, με την σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι γ.π. με λόγο $\lambda>0$

1) Να αποδειχθεί οτι η εξίσωση f(z)=0

έχει δύο μιγαδικές και μια πραγματική ρίζα

2) Αν z_1, z_2, z_3

οι ρίζες της να βρεθεί η τιμή της παράστασης Im(z_1^2+z_2^2+z_3^2)

3) Αν γνωρίζουμε οτι a=1

και οτι η εξίσωση $\displaystyle{f(z)+f(z^{-1})=16}$ εχει ρίζα τον αριθμό
$\displaystyle{\frac{1+\sqrt{3}i}{2}}$ να βρεθεί ο λόγος και οι υπόλοιποι όροι της γ.π.

4) Να βρεθούν οι υπόλοιπες λύσεις της εξίσωσης $\displaystyle{f(z)+f(z^{-1})=16}$

Γιώργος Απόκης · #2

Για τα πρώτα τρία ερωτήματα...

1) Έχουμε : $\displaystyle{b=a\lambda,c=a\lambda^2,d=a\lambda^3}$ επομένως η συνάρτηση γίνεται :

$\displaystyle{f(z)=az^3+a\lambda z^2+a\lambda^2 z+a\lambda^3=a[(z^3+\lambda^3)+(\lambda z^2+\lambda^2 z)]=a[(z+\lambda)(z^2-\lambda z+\lambda^2)+\lambda z(z+\lambda)]=}$

$\displaystyle{=a(z+\lambda)(z^2+\lambda^2)}$ . Επομένως η εξίσωση έχει ρίζες : $\displaystyle{-\lambda,i\lambda,-i\lambda}$ .

2) Έχουμε : $\displaystyle{z_1^2+z_2^2+z_3^2=\lambda^2-\lambda^2-\lambda^2=-\lambda^2}$ άρα $\displaystyle{Im(z_1^2+z_2^2+z_3^2)=0}$ .

3) Για $\displaystyle{a=1}$ είναι $\displaystyle{f(z)=(z+\lambda)(z^2+\lambda^2)}$ άρα $\displaystyle{f\left(z^{-1}\right)=\left(\frac{1}{z}+\lambda\right)\left(\frac{1}{z^2}+\lambda^{\color{red}2}\color{black}\right)}}$ .

Για $\displaystyle{z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}$ έχουμε : $\displaystyle{z^2=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,~\frac{1}{z}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}$ και $\displaystyle{\frac{1}{z^2}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}$ .

Aντικαθιστώντας στην εξίσωση $\displaystyle{f(z)+f(z^{-1})=16}$ και μετά από πράξεις φτάνουμε στην ισοδύναμη εξίσωση:

$\displaystyle{2\lambda^3+\lambda^2-\lambda-18=0}$ που έχει ρίζα $\displaystyle{\lambda=2}$ και με σχήμα Horner γίνεται : $\displaystyle{(\lambda-2)(2\lambda^2+5\lambda+9)}$ .

To τριώνυμο έχει $\displaystyle{\Delta=-47<0}$ άρα έχουμε : $\displaystyle{\lambda=2}$ και $\displaystyle{b=2,c=4,d=8}$

Edit : O κόκκινος εκθέτης...

Christos.N · #3

Γιώργο χαρά στο κουράγιο σου.

Το 4) με την βοήθεια του Mathematica 7.0

Γιώργος Απόκης · #4

Διόρθωσα παραπάνω έναν εκθέτη που "παρέσυρε" το Χρήστο και έγραψε άλλη εξίσωση στο wolfram...

Παρακάτω είναι οι λύσεις της αρχικής εξίσωσης αλλά και της ισοδύναμης (κατόπιν απαλοιφής). Αναλυτική λύση όμως;

Γιώργος Απόκης · #5

Επαναφέρω για την περίπτωση αναλυτικής επίλυσης του ερωτήματος 4)

ΕΥΣΤΑΘΙΟΣ ΦΡΕΣΚΟΣ · #6

για το 3) έχω $\left|w \right|=\left|\frac{1+i\sqrt{3}}{2} \right|=1$ άρα $w^{-1}=\bar{w}$ επομένως από την σχέση $f\left(w \right)+f\left(\bar{w} \right)=16$ υπολογίζω εύκολα τον λόγο της προόδου γιατί $w+\bar{w}=1,\: w^{2}+\bar{w}^{2}=-1,\: \: w^{3}+\bar{w}^{3}=-2$
για το 4) αν θέσω $z+\frac{1}{z}=u$ η εξίσωση γίνεται $u^{3}+2u^{2}+u-4=0\Leftrightarrow \left(u-1 \right\left)\left(u^{2}+3u+4 \right)=0$ άρα $u=1\:\: \acute{\eta }\:\: u^{2}+3u+4=0$ και αντικαθιστώντας λύνουμε την εξίσωση

Γιώργος Απόκης · #7

ΕΥΣΤΑΘΙΟΣ ΦΡΕΣΚΟΣ έγραψε:για το 3) έχω $\left|w \right|=\left|\frac{1+i\sqrt{3}}{2} \right|=1$ άρα $w^{-1}=\bar{w}$ επομένως από την σχέση $f\left(w \right)+f\left(\bar{w} \right)=16$ υπολογίζω εύκολα τον λόγο της προόδου γιατί $w+\bar{w}=1,\: w^{2}+\bar{w}^{2}=-1,\: \: w^{3}+\bar{w}^{3}=-2$
για το 4) αν θέσω $z+\frac{1}{z}=u$ η εξίσωση γίνεται $u^{3}+2u^{2}+u-4=0\Leftrightarrow \left(u-1 \right\left)\left(u^{2}+3u+4 \right)=0$ άρα $u=1\:\: \acute{\eta }\:\: u^{2}+3u+4=0$ και αντικαθιστώντας λύνουμε την εξίσωση

Aν και έχει αρκετή δουλειά η επίλυση των $\displaystyle{z+\frac{1}{z}=\frac{-3\pm i\sqrt{7}}{2}}$ , είναι "σχολική" λύση

Γιώργος Απόκης · #8

Ολοκληρώνω τη λύση του Ευστάθιου

Από την $\displaystyle{(u-1)(u^2+3u+4)=0}$ έχουμε : $\displaystyle{u=1,~u=\frac{-3\pm i\sqrt{7}}{2}}$ .

$\displaystyle{\bullet u=1\Leftrightarrow z+\frac{1}{z}=1\Leftrightarrow z^2-z+1=0\Leftrightarrow z=\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i}$

$\displaystyle{\bullet u=\frac{-3+ i\sqrt{7}}{2}\Leftrightarrow z+\frac{1}{z}=\frac{-3+ i\sqrt{7}}{2}\Leftrightarrow z^2-\frac{-3+ i\sqrt{7}}{2}z+1=0\overset{z=x+yi}\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{x^2-y^2+\frac{3x}{2}-\frac{xi\sqrt{7}}{2}+\frac{3yi}{2}+\frac{\sqrt{7}y}{2}+1=0\Leftrightarrow \begin{cases}x^2-y^2+\frac{3x}{2}+\frac{\sqrt{7}y}{2}+1=0 \\-\frac{x\sqrt{7}}{2}+\frac{3y}{2}=0 \end{cases}}$ .

Από τη 2η εξίσωση έχουμε $\displaystyle{y=\frac{x\sqrt{7}}{3}}$ και με αντικατάσταση στην 1η καταλήγουμε στην εξίσωση : $\displaystyle{2x^2+24x+9=0}$

που δίνει : $\displaystyle{x=\frac{3(-4\pm\sqrt{14})}{2}}$ και άρα $\displaystyle{y=\frac{-7\sqrt{2}\pm4\sqrt{7}}{2}}$ .

$\displaystyle{\bullet u=\frac{-3-i\sqrt{7}}{2}}$ . Ομοίως έχουμε : $\displaystyle{x=\frac{3(-4\pm\sqrt{14})}{2}}$ και άρα $\displaystyle{y=\frac{\mp7\sqrt{2}+ 4\sqrt{7}}{2}}$ .

Πολυώνυμα και μιγαδικοί

Πολυώνυμα και μιγαδικοί

Re: Πολυώνυμα και μιγαδικοί

Re: Πολυώνυμα και μιγαδικοί

Re: Πολυώνυμα και μιγαδικοί

Re: Πολυώνυμα και μιγαδικοί

Re: Πολυώνυμα και μιγαδικοί

Re: Πολυώνυμα και μιγαδικοί

Re: Πολυώνυμα και μιγαδικοί

Μέλη σε σύνδεση