Συνάρτηση και μιγαδικοί

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\displaystyle{f(z)=\ln \left | z \right |+i\mathfrak{Re}(z), \,\,\,\,z\in \mathbb{C}^*}$ .

i. Να δείξετε ότι $\displaystyle{f\left ( \bar{z} \right )=f(z)}$ και ότι $\displaystyle{\overline{f\left ( {z} \right )}=f(\bar{z}) \iff z \in \mathbb{I}^*}$ .
ii.Αν η εικόνα του

κινείται στο μοναδιαίο κύκλο, να βρεθεί πού κινείται η εικόνα του f(z)

.

BAGGP93 · #2

$\displaystyle{\rm{i})}$ Για κάθε $\displaystyle{z\in\mathbb{C}-\left\{0\right\}}$ έχουμε :

$\displaystyle{f\,(\bar{z})=\ln\,\left|\bar{z}\right|+i\,\mathfrak{Re}\,(\bar{z})=\ln\,\left|z\right|+i\,\mathfrak{Re}(z)=f(z)}$

και

$\displaystyle{\overline{f(z)}=f(z)\iff \ln\,\left|z\right|-i\,\mathfrak{Re}(z)=\ln\,\left|z\right|+i\,\mathfrak{Re}(z)\iff 2\,i\,\mathfrak{Re}(z)=0\iff \mathfrak{Re}(z)=0\iff z\in \mathbb{I}-\left\{0\right\}}$

$\displaystyle{\rm{ii})}$ Έστω $\displaystyle{z\in\mathbb{C}-\left\{0\right\}}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{\left|z\right|=1}$ .

Τότε, $\displaystyle{f(z)=i\,\mathfrak{Re}(z)}$ με $\displaystyle{-1\leq \mathfrak{Re}(z)\leq 1}$ , οπότε η εικόνα

του μιγαδικού $\displaystyle{f(z)}$ κινείται στο ευθύγραμμο τμήμα που ορίζουν τα σημεία $\displaystyle{A\,(0,-1)\,,B(0,1)}$ .

Συνάρτηση και μιγαδικοί

Συνάρτηση και μιγαδικοί

Re: Συνάρτηση και μιγαδικοί

Μέλη σε σύνδεση