Είναι χρήσιμη η άσκηση 9 Α' Ομάδα...

#1

Έστω δύο μιγαδικοί αριθμοί $z_{1},z_{2}$ για τους οποίους ισχύει: $\displaystyle{\left| {{z_1}} \right| \le 1,\left| {{z_2}} \right| \le 1}$ και επιπλέον $\displaystyle{\left| {{z_1} - {z_2}} \right| \ge 1}$ .

Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \le \sqrt 3 }$

#2

chris_gatos έγραψε:Έστω δύο μιγαδικοί αριθμοί $z_{1},z_{2}$ για τους οποίους ισχύει: $\displaystyle{\left| {{z_1}} \right| \le 1,\left| {{z_2}} \right| \le 1}$ και επιπλέον $\displaystyle{\left| {{z_1} - {z_2}} \right| \ge 1}$ .Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \le \sqrt 3 }$

${\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\overline {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)} = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left( {{{\bar z}_1} + {{\bar z}_2}} \right) =$ ${\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} + {z_1}{{\bar z}_2} + {{\bar z}_1}{z_2}\mathop \leqslant \limits^{\left| {{z_1}} \right| \leqslant 1,\left| {{z_2}} \right| \leqslant 1} 2 + {z_1}{{\bar z}_2} + {{\bar z}_1}{z_2}:\left( 1 \right)$ και με

$\left| {{z_1} - {z_2}} \right| \geqslant 1 \Leftrightarrow {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} \geqslant 1 \Leftrightarrow \left( {{z_1} - {z_2}} \right)\left( {{{\bar z}_1} - {{\bar z}_2}} \right) \geqslant 1$ $\Leftrightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} - \left( {{z_1}{{\bar z}_2} + {{\bar z}_1}{z_2}} \right) + {\left| {{z_2}} \right|^2} \geqslant 1 \Rightarrow$

$2 - \left( {{z_1}{{\bar z}_2} + {{\bar z}_1}{z_2}} \right) \geqslant 1 \Rightarrow$ ${z_1}{{\bar z}_2} + {{\bar z}_1}{z_2} \leqslant 1 \Rightarrow 2 + {z_1}{{\bar z}_2} + {{\bar z}_1}{z_2} \leqslant 1 + 2 = 3$ $\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right)} {\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} \leqslant 3 \Rightarrow \boxed{\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \leqslant \sqrt 3 }$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

#3

chris_gatos έγραψε:Έστω δύο μιγαδικοί αριθμοί $z_{1},z_{2}$ για τους οποίους ισχύει: $\displaystyle{\left| {{z_1}} \right| \le 1,\left| {{z_2}} \right| \le 1}$ και επιπλέον $\displaystyle{\left| {{z_1} - {z_2}} \right| \ge 1}$ .

Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \le \sqrt 3 }$

Από την ταυτότητα του Απολλωνίου $|z_1+z_2|^2 = 2|z_1|^2+ 2|z_2|^2- |z_1-z_2|^2\le 2 \cdot 1^2+ 2\cdot 1^2 -1^2 =3$ , από όπου το ζητούμενο.

Μ.

#4

chris_gatos έγραψε:Έστω δύο μιγαδικοί αριθμοί $z_{1},z_{2}$ για τους οποίους ισχύει: $\displaystyle{\left| {{z_1}} \right| \le 1,\left| {{z_2}} \right| \le 1}$ και επιπλέον $\displaystyle{\left| {{z_1} - {z_2}} \right| \ge 1}$ .

Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \le \sqrt 3 }$

Καλησπέρα σε όλους.

Για να δικαιολογήσω τον τίτλο.

Είναι: $\displaystyle{|{z_1} + {z_2}{|^2} + |{z_1} - {z_2}{|^2} = 2|{z_1}{|^2} + 2|{z_2}{|^2} \le 4 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{|{z_1} + {z_2}{|^2} \le 4 - |{z_1} - {z_2}{|^2} \le 3 \Leftrightarrow }$ $\boxed{|{z_1} + {z_2}| \le \sqrt 3 }$

Βλέπω ότι με πρόλαβε ο Μιχάλης. Το αφήνω για τον κόπο.

KARKAR · #5

: μέτρο αθροίσματος.png (9.67 KiB) Προβλήθηκε 1814 φορές

"Το μέτρο του αθροίσματος δύο διανυσμάτων μεγιστοποιείται , αν μεγιστοποιηθούν τα μέτρα τους

και ελαχιστοποιηθεί η γωνία τους ". ( Παλιά κινέζικη παροιμία ) .

Το πρώτο επιτυγχάνεται αν οι εικόνες τους είναι σημεία του μοναδιαίου κύκλου , αλλά - λυπάμαι -

η γωνία τους δεν μπορεί να κατέβει από τις 60^0

.

Συνεπώς $|z_{1}+z_{2}|_{max}=\sqrt{3}$ , για την περίπτωση που βλέπετε στο σχήμα .

Γιώργος Απόκης · #6

KARKAR έγραψε:
"Το μέτρο του αθροίσματος δύο διανυσμάτων μεγιστοποιείται , αν μεγιστοποιηθούν τα μέτρα τους

και ελαχιστοποιηθεί η γωνία τους ". ( Παλιά κινέζικη παροιμία ) .

#7

KARKAR έγραψε:
μέτρο αθροίσματος.png
"Το μέτρο του αθροίσματος δύο διανυσμάτων μεγιστοποιείται , αν μεγιστοποιηθούν τα μέτρα τους

και ελαχιστοποιηθεί η γωνία τους ". ( Παλιά κινέζικη παροιμία ) .

Το πρώτο επιτυγχάνεται αν οι εικόνες τους είναι σημεία του μοναδιαίου κύκλου , αλλά - λυπάμαι -

η γωνία τους δεν μπορεί να κατέβει από τις .

Συνεπώς $|z_{1}+z_{2}|_{max}=\sqrt{3}$ , για την περίπτωση που βλέπετε στο σχήμα .

#8

Γεωμετρικοτριγωνομετρικά:

Στο μαύρο-πράσινο τρίγωνο έχουμε δύο μαύρες πλευρές με μήκη μικρότερα ή ίσα της μονάδος ( $|z_1|\leq1, |z_2|\leq1$ ), και μία πράσινη πλευρά μεγαλύτερη ή ίση της μονάδος ( $|z_1-z_2|\geq1$ ) , άρα η απέναντι αυτής γωνία $\phi$ , μεγαλύτερη ή ίση των άλλων δύο, οφείλει να είναι μεγαλύτερη ή ίση των 60^0

. Αυτό σημαίνει ότι στο μαύρο-κόκκινο τρίγωνο η γωνία $\theta$ , παραπληρωματική της $\phi$ , οφείλει να είναι μικρότερη ή ίση των 120^0

, οπότε $\sigma \upsilon \nu \theta \geq -\displaystyle\frac{1}{2}$ , και από Νόμο Συνημιτόνων $|z_1+z_2|^2=|z_1|^2+|z_2|^2-2|z_1||z_2|\sigma \upsilon \nu \theta \leq|z_1|^2+|z_2|^2+|z_1||z_2|}\leq3$ .

Γιώργος Μπαλόγλου

Είναι χρήσιμη η άσκηση 9 Α' Ομάδα...

Είναι χρήσιμη η άσκηση 9 Α' Ομάδα...

Re: Είναι χρήσιμη η άσκηση 9 Α' Ομάδα...

Re: Είναι χρήσιμη η άσκηση 9 Α' Ομάδα...

Re: Είναι χρήσιμη η άσκηση 9 Α' Ομάδα...

Re: Είναι χρήσιμη η άσκηση 9 Α' Ομάδα...

Re: Είναι χρήσιμη η άσκηση 9 Α' Ομάδα...

Re: Είναι χρήσιμη η άσκηση 9 Α' Ομάδα...

Re: Είναι χρήσιμη η άσκηση 9 Α' Ομάδα...

Μέλη σε σύνδεση