ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΕΠΙΒΕΒΑΙΩΣΕΙΣ

dimplak · #1

Στις παρακάτω ασκήσεις δεν μπορώ να λύσω κάποιο ερώτημα! Θα ήθελα τη βοήθεια σας, αποτέλεσμα ή υπόδειξη αλλά όχι τη λύση! Ευχαριστώ!

ΑΣΚΗΣΗ 1 ( βοήθεια στο ερώτημα γ , βρίσκω ελάχιστη τιμή 15 αλλά μου βγαίνει άτοπο στην εύρεση των

)

Έστω οι μιγαδικοί z , w

, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις $|z + \frac{25}{\bar{z}}| \leq 10$ και w = (z + 8)i + 6

.

(α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του

είναι ο κύκλος με κέντρο το O (0,0)

και ακτίνα $\rho = 5$ .

(β) Να αποδείξετε ότι $10 - 5 \sqrt{2} \leq |z - w| \leq 10 + 5 \sqrt{2}$ .

(γ) Να βρείτε τους μιγαδικούς

ώστε το

να γίνεται ελάχιστο καθώς και την ελάχιστη τιμή του .

#2

στο α ερώτημα ο γ.τ δεν είναι κύκλος

#3

dimplak έγραψε:Στις παρακάτω ασκήσεις δεν μπορώ να λύσω κάποιο ερώτημα! Θα ήθελα τη βοήθεια σας, αποτέλεσμα ή υπόδειξη αλλά όχι τη λύση! Ευχαριστώ!

ΑΣΚΗΣΗ 1 ( βοήθεια στο ερώτημα γ , βρίσκω ελάχιστη τιμή 15 αλλά μου βγαίνει άτοπο στην εύρεση των )

Έστω οι μιγαδικοί , οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις $|z + \frac{25}{\bar{z}}| \leq 10$ και .

(α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι ο κύκλος με κέντρο το και ακτίνα $\rho = 5$ .

(β) Να αποδείξετε ότι $10 - 5 \sqrt{2} \leq |z - w| \leq 10 + 5 \sqrt{2}$ .

(γ) Να βρείτε τους μιγαδικούς ώστε το να γίνεται ελάχιστο καθώς και την ελάχιστη τιμή του .

(γ) $|z^2 - 2z + 50|=5|z-2+2\overline{z}|=...$

nikoszan · #4

dimplak έγραψε:Στις παρακάτω ασκήσεις δεν μπορώ να λύσω κάποιο ερώτημα! Θα ήθελα τη βοήθεια σας, αποτέλεσμα ή υπόδειξη αλλά όχι τη λύση! Ευχαριστώ!

ΑΣΚΗΣΗ 1 ( βοήθεια στο ερώτημα γ , βρίσκω ελάχιστη τιμή 15 αλλά μου βγαίνει άτοπο στην εύρεση των )

Έστω οι μιγαδικοί , οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις $|z + \frac{25}{\bar{z}}| \leq 10$ και .

(α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι ο κύκλος με κέντρο το και ακτίνα $\rho = 5$ .

(β) Να αποδείξετε ότι $10 - 5 \sqrt{2} \leq |z - w| \leq 10 + 5 \sqrt{2}$ .

(γ) Να βρείτε τους μιγαδικούς ώστε το να γίνεται ελάχιστο καθώς και την ελάχιστη τιμή του .

$|{z^2} - 2z + 50| = |{z^2} - 2z + 2{\left| z \right|^2}| =$ $\left| {{z^2} - 2z + 2z\overline z } \right| = \left| {z\left( {z - 2 + 2\overline z } \right)} \right| = \left| z \right|\left| {z - 2 + 2\overline z } \right|\mathop = \limits^{z = x + yi,\left( {x,y \in R} \right)}$
$= 5\left| {\left( {3x - 2} \right) - yi} \right| = 5\sqrt {{{\left( {3x - 2} \right)}^2} + {y^2}} =$
$\mathop = \limits^{\left( {{y^2} = 25 - {x^2}} \right)} 5\sqrt {8{x^2} - 12x + 29} = 5\sqrt {8{{\left( {x - \frac{3}{4}} \right)}^2} + \frac{{49}}{2}} , - 5 \le x \le 5$
Οπότε $|{z^2} - 2z + 50| \ge 5\sqrt {\frac{{49}}{2}} = \frac{{35\sqrt 2 }}{2}$ ,όταν $x = \frac{3}{4},{y^2} = 25 - {x^2} = ...$ ,δηλαδή όταν $z = \frac{3}{4} \pm \frac{{\sqrt {391} }}{4}i$ .
Μπορούμε να βρούμε και το μέγιστο ...
N.Z.

Αρχιμήδης 6 · #5

xr.tsif έγραψε:στο α ερώτημα ο γ.τ δεν είναι κύκλος

Είναι κύκλος , x^2+y^2=25

#6

σωστά

dimplak · #7

Ευχαριστώ πολύ , ιδιαίτερα τον nikoszan.

Τελικά άλλαξα το ερώτημα (γ) σε |z^2 - 2z - 25|

για μία πιο εύκολη και πιο ... κομψή λύση ίση με 10!

Επόμενη άσκηση.

ΑΣΚΗΣΗ 2

Έστω οι μιγαδικοί

οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση $| z + i \sqrt{2} | = 1 + \sqrt{2} \cdot Im(z)$ .

(α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών

.

(β) Αν z_1 , z_2

δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς

με $|z_1 + z_2 | = \sqrt{3}$ , να δείξετε ότι $|z_1 - z_2 | \geq 1$ .

(γ) Να δείξετε ότι $| z + i \sqrt{2} | - |z - i \sqrt{2} | = 2$ .

(δ) Να δείξετε ότι | z^2 + 2 | = |z|^2

.

(ε) Να δειχθεί ότι οι εικόνες των z^2

βρίσκονται στην ευθεία x = - 1

.

Βρήκα υπερβολή , άρα αν η εικόνα του

ανήκει σε αυτήν , τότε ανήκουν και οι εικόνες και των $\bar{z} , -z , - \bar{z}$ , όμως τα ερωτήματα (β) και (γ) δε μου βγαίνουν . Μήπως υπάρχει τυπογραφικό λάθος στο ερώτημα (γ) , αντί για - είναι + ; Έτσι μόνο μου βγαίνει!

Ζητώ συγγνώμη για τα τυπογραφικά λάθη!

Ευχαριστώ τον Socrates για την επισήμανση αυτών των λαθών!

Θεοδωρος Παγωνης · #8

Καλησπέρα .
Για το β ερώτημα θεώρησε τις διανυσματικές ακτίνες των εικόνων των μιγαδικών και για το γ ερώτημα δες τον ορισμό της υπερβολής από το βιβλίο μαθηματικά κατεύθυνσης της Β λυκείου.

#9

dimplak έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 2

Έστω οι μιγαδικοί οι οποίοι ικανοποιούν τη σχέση $| z + i \sqrt{2} | = 1 + \sqrt{2} \cdot Im(z)$ .

(α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών .

(β) Αν δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς με , να δείξετε ότι $|z_1 - z_2 | \geq 1$ .

(γ) Να δείξετε ότι $| z_1 - i \sqrt{2} | - |z_2 - i \sqrt{2} | = 2$ .

(δ) Να δείξετε ότι .

(ε) Να δειχθεί ότι οι εικόνες των βρίσκονται στην ευθεία .

Βρήκα υπερβολή , άρα αν η εικόνα του ανήκει σε αυτήν , τότε ανήκουν και οι εικόνες και των $\bar{z} , -z , - \bar{z}$ , όμως τα ερωτήματα (β) και (γ) δε μου βγαίνουν . Μήπως υπάρχει τυπογραφικό λάθος στο ερώτημα (γ) , αντί για - είναι + ; Έτσι μόνο μου βγαίνει!

(α) Είναι κλάδος υπερβολής...

(β) Μήπως είναι $|z_1 + z_2 | = \sqrt{3}$
(γ) Η σχέση $| z_1 - i \sqrt{2} | - |z_2 - i \sqrt{2} | = 2$ δε μπορεί να ισχύει για κάθε z_,z_2

που ανήκουν στο γ.τ.
Ίσως είναι $| z+ i \sqrt{2} | - |z - i \sqrt{2} | = 2$ για κάθε

που ανήκει στο γ.τ.

dimplak · #10

Για το (β) έχουμε:

Από το ερώτημα (α) προκύπτει ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του

είναι ο κλάδος της υπερβολής που είναι συμμετρικός ως προς τον θετικό ημιάξονα Οy και έχει κορυφή το σημείο (0,1) . Άρα ισχύουν οι σχέσεις $| z_1 | \geq 1$ και $| z_2 | \geq 1$ .

Επιπλέον ισχύει:

$| z_1 + z_2 |^2 = 3 \Leftrightarrow (z_1 + z_2) \cdot (\bar{z}_1 + \bar{z}_2) = 3 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow z_1 \cdot \bar{z}_2 + \bar{z}_1 \cdot z_2 = 3 - |z_1|^2 - |z_2|^2$ .

Άρα:

$| z_1 - z_2 |^2 = (z_1 - z_2 ) \cdot (\bar{z}_1 - \bar{z}_2) = |z_1|^2 - ( z_1 \cdot \bar{z}_2 + \bar{z}_1 \cdot z_2 ) + |z_2|^2 =$

$|z_1|^2 - 3 + |z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_2|^2 = 2 \cdot ( |z_1|^2 + |z_2|^2 ) - 3 \geq 2 \cdot ( 1 + 1) - 3 = 4 - 3 = 1$ .

ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΕΠΙΒΕΒΑΙΩΣΕΙΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΕΠΙΒΕΒΑΙΩΣΕΙΣ

Re: ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΕΠΙΒΕΒΑΙΩΣΕΙΣ

Re: ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΕΠΙΒΕΒΑΙΩΣΕΙΣ

Re: ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΕΠΙΒΕΒΑΙΩΣΕΙΣ

Re: ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΕΠΙΒΕΒΑΙΩΣΕΙΣ

Re: ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΕΠΙΒΕΒΑΙΩΣΕΙΣ

Re: ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΕΠΙΒΕΒΑΙΩΣΕΙΣ

Re: ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΕΠΙΒΕΒΑΙΩΣΕΙΣ

Re: ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΕΠΙΒΕΒΑΙΩΣΕΙΣ

Re: ΜΙΓΑΔΙΚΕΣ ΕΠΙΒΕΒΑΙΩΣΕΙΣ

Μέλη σε σύνδεση