Μιγαδικοί και Συνάρτηση

Λάμπρος Μπαλός · #1

Δίνεται η συνάρτηση $g(x)=g(0)x^{2}+x+\left|z-\frac{1}{4} \right|+\left|z+\frac{1}{4} \right|$ , με $z\in C$ .

Αν η γραφική παράσταση της

τέμνει τον x'x

, να αποδείξετε ότι $z\in R$ .

Tolaso J Kos · #2

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $g(x)=g(0)x^{2}+x+\left|z-\frac{1}{4} \right|+\left|z+\frac{1}{4} \right|$ , με $z\in C$ .

Αν η γραφική παράσταση της τέμνει τον , να αποδείξετε ότι $z\in R$ .

Γεια σου Λάμπρο,
δίνω μία λύση σε συνεργασία με το φίλο μου G. Bas!

Είναι $\displaystyle{g(0)=\left | z-\frac{1}{4} \right |+\left | z+\frac{1}{4} \right |}$ άρα ισοδύναμα η

γράφεται:
$\displaystyle{g(x)=g(0)x^2+x+g(0)}$ και για να τέμνει τον x'x

απαιτούμε $\Delta \geq 0$ , δηλ. $1-4g^2(0) \geq 0 \iff |g(0)| \leq \dfrac{1}{2}$ .

Τότε $\displaystyle{\frac{1}{2}\geq \left | z-\frac{1}{4} \right |+\left | z+\frac{1}{4} \right | \geq \frac{1}{2} \implies \left | z-\frac{1}{4} \right | +\left | z+\frac{1}{4} \right |=\frac{1}{2}}$ με την τελευταία ανισότητα να ισχύει από την τριγωνική.

Η τελευταία δίνει ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα σημεία $\displaystyle{A \left(-\frac{1}{4}, 0 \right) }$ και $\displaystyle{A' \left(\frac{1}{4}, 0 \right)}$ . Οπότε έχουμε το ζητούμενο.

Λάμπρος Μπαλός · #3

Σε χρόνο ρεκόρ βλέπω.
χαχα..Μπράβο σας. Είναι μια δημιουργία που ίσως να αποτελέσει ερώτημα στο 4ο θέμα στο διαγώνισμα για τους μαθητές στο φροντιστήριο.
Σας ευχαριστώ.

Grosrouvre · #4

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $g(x)=g(0)x^{2}+x+\left|z-\frac{1}{4} \right|+\left|z+\frac{1}{4} \right|$ , με $z\in C$ .

Αν η γραφική παράσταση της τέμνει τον , να αποδείξετε ότι $z\in R$ .

$\bullet$ Μία δεύτερη λύση, χωρίς διακρίνουσα.

Έστω $x_1, x_2 \in \mathrm{R}$ , οι δύο ρίζες της g(x) = 0

(μπορεί και x_1 = x_2

, διπλή ρίζα). Από τους τύπους Vieta, θα έχουμε ότι:

$\displaystyle{S = x_1 + x_2 = - \frac{1}{g(0)}}$ και $P = x_1 \cdot x_2 = 1$ (αντίστροφοι).

Επειδή $\displaystyle{g(0)\geq \frac{1}{2}}$ (από την τριγωνική ανισότητα), προκύπτει ότι x_1, x_2 <0.

Άρα, $\displaystyle{g(0)\geq \frac{1}{2}} \Longrightarrow S = x_1 + x_2 = x_1 + \frac{1}{x_1}\geq -2 (\star).$

Για το άθροισμα όμως δύο αρνητικών αντίστροφων ισχύει ότι $\displaystyle{x_1 + \frac{1}{x_1} \leq -2 }(\star \star).$

Από τις $(\star)$ και $(\star \star)$ έχουμε ότι x_1 = x_2 = -1.

Επομένως, $\displaystyle{ g(0) = \left| z - \frac{1}{4} \right| + \left| z + \frac{1}{4} \right| = \frac{1}{2} \Longrightarrow z \in \mathrm{R}}.$

#5

Μια παρατήρηση:

Για να δουλέψουν οι παραπάνω λύσεις, χρειαζόμαστε $g(0)\ne 0$ που ισχύει αφού $\displaystyle{\left|z-\frac{1}{4} \right|+\left|z+\frac{1}{4} \right|>0...}$

Μιγαδικοί και Συνάρτηση

Μιγαδικοί και Συνάρτηση

Re: Μιγαδικοί και Συνάρτηση

Re: Μιγαδικοί και Συνάρτηση

Re: Μιγαδικοί και Συνάρτηση

Re: Μιγαδικοί και Συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση