Γεωμετρική ερμηνεία

#1

Αν $z,w \in \mathbb{C}^*$ με $z \neq w$ , να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τη σχέση:

$\displaystyle{\left|\frac{z}{w}+\frac{w}{z}+2 \right|=1+\left|\frac{z}{w} \right|+\left|\frac{w}{z} \right|}$ .

#2

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Αν $z,w \in \mathbb{C}^*$ με $z \neq w$ , να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τη σχέση:

$\displaystyle{\left|\frac{z}{w}+\frac{w}{z}+2 \right|=1+\left|\frac{z}{w} \right|+\left|\frac{w}{z} \right|}$ .

Λευτέρη, με δυσκολεύει !

Φαντάζομαι ότι το σκεπτικό σου είναι το εξής :

'' Αν για αυτούς τους μιγαδικούς z,w

ισχύει η παραπάνω σχέση(διότι δεν ισχύει για όλους) , τότε ποια γεωμετρική ερμηνεία δίνεται σε αυτή τη σχέση. ''

Διότι προφανώς δεν πρόκειται για ισότητα που ισχύει για όλους τους μιγαδικούς z,w

.Με άλλα λόγια πρέπει να βρούμε ποια γεωμετρική πρόταση κρύβει η δοσμένη σχέση, όταν ισχύει. Ή μήπως εννοείς κάτι άλλο ;

Μπάμπης

#3

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Αν $z,w \in \mathbb{C}^*$ με $z \neq w$ , να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τη σχέση:

$\displaystyle{\left|\frac{z}{w}+\frac{w}{z}+2 \right|=1+\left|\frac{z}{w} \right|+\left|\frac{w}{z} \right|}$ .

Η σχέση γράφεται

$\displaystyle{|z+w|^2=|z|^2+|w|^2+|zw|}$

άρα οι εικόνες των μιγαδικών $\displaystyle{z,-w}$ σχηματίζουν γωνία $\displaystyle{120^o.}$ (Νόμος συνημιτόνων).

Άρα οι εικόνες των $\displaystyle{z,w}$ σχηματίζουν γωνία $\displaystyle{60^o.}$

#4

Θάνο, με πρόλαβες

! Δεν πρόκειται βέβαια ακριβώς για γεωμετρική ερμηνεία μιας σχέσης, αλλά για την εξαγωγή ενός συμπεράσματος , με προαιρετική χρήση και ενός ...γεωμετρικού συμπεράσματος που δεν είναι ακριβώς γεωμετρικό(με τη σχολική έννοια), αλλά τριγωνομετρικό.
Να σημειώσω ότι η άσκηση μπορεί να πάρει μια άλλη διατύπωση και να γίνει εξαιρετικά όμορφη.

Μπάμπης

#5

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Αν $z,w \in \mathbb{C}^*$ με $z \neq w$ , να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τη σχέση:

$\displaystyle{\left|\frac{z}{w}+\frac{w}{z}+2 \right|=1+\left|\frac{z}{w} \right|+\left|\frac{w}{z} \right|}$ .

Θα κάνω μία προσπάθεια (δεν ξέρω αν αυτό που θα γράψω θεωρείται γεωμετρική ερμηνεία).

Έστω $\displaystyle{\frac{z}{w} = u = x + yi \ne 0}$ . Η δοσμένη σχέση γράφεται:

$\displaystyle{|u + 1{|^2} = |u{|^2} + |u| + 1 \Leftrightarrow u + \overline u = |u| \Leftrightarrow 2x = \sqrt {{x^2} + {y^2}} }$ , απ' όπου παίρνουμε $\displaystyle{y = \pm \sqrt 3 x,x > 0}$

Άρα η εικόνα του $\displaystyle{\frac{z}{w}}$ κινείται σε δύο ημιευθείες με εξισώσεις $\displaystyle{y = \sqrt 3 x,y = - \sqrt 3 x}$ και θετικές τετμημένες.

#6

Πάρα πολύ ωραία.

Ας διατυπώσω την αρχική ιδέα.

Αν $z,w \in \mathbb{C}^*$ με $z \neq w$ , να ερμηνεύσετε τι εκφράζει γεωμετρικά η παράσταση:

$\displaystyle{\left|\frac{z}{2w}+\frac{w}{2z}+1 \right|-\left|\frac{z}{2w} \right|-\left|\frac{w}{2z} \right|}$ .

Στο προηγούμενο ερώτημα απλά την έβαλα ίση με $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ ...

Υ.Γ. Διόρθωσα με κόκκινο τη φράση μου.

Ανδρέας Πούλος · #7

Αγαπητοί συνάδελφοι,
η συνθήκη $z\neq w$ είναι πλεονασμός.
Έτσι, κι αλλιώς δεν υπάρχει περίπτωση να ισχύει, διότι θα είχαμε 4=3.

Ανδρέας Πούλος

Γεωμετρική ερμηνεία

Γεωμετρική ερμηνεία

Re: Γεωμετρική ερμηνεία

Re: Γεωμετρική ερμηνεία

Re: Γεωμετρική ερμηνεία

Re: Γεωμετρική ερμηνεία

Re: Γεωμετρική ερμηνεία

Re: Γεωμετρική ερμηνεία

Μέλη σε σύνδεση