Σχέση με ρίζες...

Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης

Απάντηση
tdsotm111
Δημοσιεύσεις: 123
Εγγραφή: Τετ Ιαν 13, 2010 12:54 am

Σχέση με ρίζες...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tdsotm111 » Δευ Οκτ 27, 2014 8:31 pm

Αν ισχύει z^5+z^3+z+3=0, z \in C (1)
να δείξετε ότι (1+z_1^2)(1+z_2^2)(1+z_3^2)(1+z_4^2)(1+z_5^2)=10
όπου z_1,z_2,z_3,z_4,z_5 οι ρίζες της (1).

(διόρθωσα μια δύναμη)


Κορυφή
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 4117
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:
Επικοινωνία cretanman

Re: Σχέση με ρίζες...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Δευ Οκτ 27, 2014 8:45 pm

Αν θέσουμε f(z)=z^5+z^3+z+3 τότε f(z)=(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_5)

άρα \begin{aligned}\left(z_1^2+1\right)\left(z_2^2+1\right)\cdots\left(1+z_5^2\right) &= \left(z_1+i\right)\left(z_1-1\right)\cdots \left(z_5+i\right)\left(z_5-i\right) \\ &= f(i)f(-i)=10\end{aligned}

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Κορυφή
tdsotm111
Δημοσιεύσεις: 123
Εγγραφή: Τετ Ιαν 13, 2010 12:54 am

Re: Σχέση με ρίζες...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tdsotm111 » Δευ Οκτ 27, 2014 8:48 pm

Συγχαρητήρια για την express απάντηση! :clap2:


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης