Ένας ακέραιος στους μιγαδικούς

Grosrouvre · #1

Να βρείτε τον θετικό ακέραιο $\nu$ για τον οποίο ισχύει η σχέση

$\left|\left(1+i\sqrt{3}\right)^{\nu} - 2^{\nu}\right| = 2^{\nu^2 - 5\nu + 10}.$

Γιώργος Απόκης · #2

Καλησπέρα.

Από την τριγωνική ανισότητα έχουμε : $\displaystyle{\left|\left(1+i\sqrt{3}\right)^{\nu} - 2^{\nu}\right|\leq \left|\left(1+i\sqrt{3}\right)^{\nu}\right|+\left| - 2^{\nu}\right|=2^{\nu}+2^{\nu}=2^{\nu+1}}$ .

Eπομένως από τη δοσμένη έχουμε : $\displaystyle{2^{\nu^2-5\nu+10}\leq 2^{\nu+1}~\color{blue}(1)}$

Θεωρούμε τη διαφορά $\displaystyle{(\nu^2-5\nu+10)-(\nu+1)=\nu^2-6\nu+9=(\nu-3)^2\geq 0}$ επομένως

$\displaystyle{\nu^2-5\nu+10\geq \nu+1\Rightarrow 2^{\nu^2-5\nu+10}\geq 2^{\nu+1}~\color{blue}(2)}$ .

Από τις (1), (2) έχουμε $\displaystyle{2^{\nu^2-5\nu+10}= 2^{\nu+1}\Leftrightarrow \nu^2-5\nu+10=\nu+1\Leftrightarrow (\nu-3)^2=0\Leftrightarrow \nu=3}$

#3

+ Επαλήθευση...

Γιώργος Απόκης · #4

socrates έγραψε:+ Επαλήθευση...

Έχεις δίκιο, έκανα την επαλήθευση (και τα δύο μέλη είναι ίσα με $\displaystyle{16}$ ) αλλά δεν την έγραψα! Ευχαριστώ!

Γιώργος Απόκης · #5

Aπλά να συμπληρώσω με μια παρατήρηση του Χρήστου Ντάβα ότι από τη σχέση (1), λόγω της μονοτονίας

της $\displaystyle{2^x}$ , έχουμε $\displaystyle{\nu^2-5\nu+10\leq \nu+1\Rightarrow \nu^2-6\nu+9\leq 0\Rightarrow (\nu-3)^2\leq 0\Rightarrow \nu =3}$

Ένας ακέραιος στους μιγαδικούς

Ένας ακέραιος στους μιγαδικούς

Re: Ένας ακέραιος στους μιγαδικούς

Re: Ένας ακέραιος στους μιγαδικούς

Re: Ένας ακέραιος στους μιγαδικούς

Re: Ένας ακέραιος στους μιγαδικούς

Μέλη σε σύνδεση