Μιγαδικοί

#1

Βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς a , b

αν

και $1 + ab = \overline{a} + \overline{b}.$

#2

socrates έγραψε:Βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς αν και $1 + ab = \overline{a} + \overline{b}.$

Καλησπέρα Θανάση.
Έχω:

$\displaystyle{a\overline a + ab = \overline {a + b} \Rightarrow a\left( {\overline a + b} \right) = \overline {a + b} \Rightarrow \left| {a\left( {\overline a + b} \right)} \right| = \left| {\overline {a + b} } \right| \Rightarrow \left| {\overline a + b} \right| = \left| {a + b} \right|}$

Υψώνοντας στο τετράγωνο έχω:

$\displaystyle{{\left| {\overline a + b} \right|^2} = {\left| {a + b} \right|^2} \Rightarrow \left( {\overline a + b} \right)\left( {a + \overline b } \right) = \left( {a + b} \right)\left( {\overline a + \overline b } \right) \Rightarrow ...\overline a \overline b + ab = a\overline b + b\overline a }$ $\displaystyle{\overline a \overline b + ab = a\overline b + b\overline a \Rightarrow \overline b \left( {a - \overline a } \right) + b\left( {\overline a - a} \right) = 0 \Rightarrow \left( {a - \overline a } \right)\left( {b - \overline b } \right) = 0}$

απ'όπου $\displaystyle{a = \overline a \vee b = \overline b \Rightarrow a \in \mathbb{R} \vee b \in \mathbb{R}.}$

Αν $a \in \mathbb{R}$ τότε προφανώς $a=1 \vee a=-1$

Αν a=1

τότε $1+b=1+\overline b \Rightarrow b=\overline b$ δηλαδή και

πραγματικός.

Δηλαδή προκύπτουν άμεσα τα ζεύγη (1,1), (1,-1)

. Επαληθεύουν και τα δύο την αρχική επομένως δεκτά και τα δύο.

Αν a=-1

τότε έχω $1-b=-1+\overline b \Rightarrow b+\overline b=2 \Rightarrow Re(b)=1$ , δηλαδή Im(b)=0.

Τότε έχω

που επαληθεύει.
Αν

πραγματικός τότε αντίστοιχα θα προκύψουν τα (1,1), (-1,1),(1,-1)

που πάλι είναι δεκτά αφού επαληθεύουν.

Επομένως λύσεις είναι τα ζεύγη (1,1),(1,-1),(-1,1).

STOPJOHN · #3

Kαλησπέρα
$1+ab=\bar{a}+\bar{b}\Rightarrow \left|1+ab \right|^{2}=\left|\bar{a}+\bar{b} \right|^{2}\Leftrightarrow (a-\bar{a})(\bar{b}-b)=0$ κ.λ.π τα υπόλοιπα τα άφησα γιατί είναι παρόμοιες πράξεις με του Χρήστου

Γιάννης

#4

socrates έγραψε:Βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς αν και $1 + ab = \overline{a} + \overline{b}.$

Η σχέση αυτή γράφεται

$\displaystyle{1+ab=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\implies \boxed{1+ab=\frac{a+b}{ab}}}$

Παίρνοντας συζυγείς γράφεται

$\displaystyle{1+\frac{1}{ab}=a+b\implies \boxed{\frac{1+ab}{ab}=a+b}}$

Αν $\displaystyle{ab=-1}$ προφανώς φτάνουμε στα ζεύγη $\displaystyle{(1,-1),(-1,1).}$

Αν $\displaystyle{ab\ne -1,}$ διαιρώντας κατά μέλη τις προηγούμενες σχέσεις προκύπτει $\displaystyle{(ab)^2=1\stackrel{ab\ne -1}{\implies}ab=1}$ και επομένως είναι και $\displaystyle{a+b=2.}$ Αυτό σημαίνει ότι $\displaystyle{a=b=1.}$

STOPJOHN · #5

Καλημέρα ,άλλη μια λύση
Θέτουμε $a=\sigma \upsilon \nu \omega +i\eta \mu \omega , b=\sigma \upsilon \nu \phi +i\eta \mu \phi$
Τότε θα είναι
$ab=\sigma \upsilon \nu (\omega +\phi )+i\eta \mu (\omega +\phi ),(1), \bar{a}+\bar{b}=2\sigma \upsilon \nu \frac{\omega +\phi }{2}.\sigma \upsilon \nu \frac{\omega -\varphi }{2}-2\eta \mu \frac{\omega +\phi }{2}(\sigma \upsilon \nu \frac{\omega -\phi }{2})i$ , (2)
Η σχέση που δόθηκε
$1+ab=\bar{a}+\bar{b},(1),(2)\Rightarrow 1+\sigma \upsilon \nu (\omega +\phi )=2\sigma \upsilon \nu \frac{\omega -\phi }{2}.\sigma \upsilon \nu \frac{\omega +\phi }{2} ,(*) \eta \mu (\omega +\phi )=-2\eta \mu \frac{\omega +\phi }{2}.\sigma \upsilon \nu \frac{\omega -\phi }{2}, (**)$

Συνεπώς
$\sigma \upsilon \nu \frac{\omega +\phi }{2}=0,\sigma \upsilon \frac{\omega +\phi }{2}=\sigma \upsilon \nu \frac{\omega -\phi }{2} \eta \mu \frac{\omega +\phi }{2}=0,\sigma \upsilon \nu \frac{\omega +\phi }{2}=-\sigma \upsilon \nu \frac{\omega -\phi }{2}$
Από τις τελευταίες σχέσεις καταλήγουμε :

$\sigma \upsilon \nu \frac{\omega +\phi }{2}=0,\sigma \upsilon \frac{\omega +\phi }{2}=\sigma \upsilon \nu \frac{\omega -\phi }{2} \eta \mu \frac{\omega +\phi }{2}=0,\sigma \upsilon \nu \frac{\omega +\phi }{2}=-\sigma \upsilon \nu \frac{\omega -\phi }{2}$

$\omega =\pi ,\varphi =0\Rightarrow (a,b)=(1,1), \omega =\phi =0\Rightarrow (a,b)=(1,1), \omega =\pi ,\phi =0\Rightarrow (a,b)=(1,-1)$

Γιάννης

Μιγαδικοί

Μιγαδικοί

Re: Μιγαδικοί

Re: Μιγαδικοί

Re: Μιγαδικοί

Re: Μιγαδικοί

Μέλη σε σύνδεση