Kλασσική

erxmer · #1

Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός

ώστε $\displaystyle{\frac{1}{|z+4|}+\frac{1}{|z-4|}=\frac{10}{|z^2-16|}}$

1) Nα βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του

2) Αν

μιγαδικοί που ανήκουν στον γ.τ τότε $\displaystyle{ 0 \leq |z_1-z_2| \leq 10 }$

3) Aν για τους z_1,z_2

επιπλέον ισχύει οτι |z_1-z_2|=10

, να βρεθει ο γ.τ των εικόνων του

ώστε $|w+\frac{z_1+z_2}{2}|=2$

4) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του |z-w|

dennys · #2

1) Η σχέση με απαλοιφή παρονομαστών μας οδηγεί στην ισοδύναμή της

|z-4|+|z+4|=10=2*5

,η οποία επειδή $a=5>4=\gamma$

είναι η εξίσωση έλλειψης με στοιχεία $a=5,\gamma=4,\beta=3\Rightarrow \cfrac{x^2}{25}+\cfrac{y^2}{9}=1$

2)Για δύο μιγαδικούς της έλλειψης ισχύει $2\beta\le |z_1-z_2|\le 2a$

3)Aν οι μιγαδικοί είναι τέτοιοι ώστε |z_1-z_2|=10

, δηλ. είναι στις ακραίες θέσεις του μεγάλου άξονα

ισχύει $z_1+z_2=0\Rightarrow |w|=2$ δηλ. κύκλος (O,2)

4) γιά την μέγιστη τιμή του $|z-w|\le |z|+|w|\le 5+2=7,$ που συμβαίνει όταν z=5+0i,w=-2+0i

και

Γιώργος Απόκης · #3

erxmer έγραψε:Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός ώστε $\displaystyle{\frac{1}{|z+4|}+\frac{1}{|z-4|}=\frac{10}{|z^2-16|}}$

1) Nα βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του

2) Αν μιγαδικοί που ανήκουν στον γ.τ τότε $\displaystyle{ \color{red}6\color{black} \leq |z_1-z_2| \leq 10 }$

3) Aν για τους επιπλέον ισχύει οτι , να βρεθει ο γ.τ των εικόνων του ώστε $|w+\frac{z_1+z_2}{2}|=2$

4) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του

Νομίζω ότι η ελάχιστη τιμή είναι $\displaystyle{0}$ , στην περίπτωση που ταυτίζονται οι εικόνες των $\displaystyle{z_1,z_2}$

dennys · #4

Aυτό ετοιμαζόμουν να γράψω Γιώργο.

Για το μέγιστο είναι ΟΚ , αλλά το ελάχιστο αν ταυτίζονται είναι όντως 0
Αν όμως μπεί οτι οι μιγαδικοί είναι "αντιδιαμετρικοί" θα ίσχυε κάτι τέτοιο.Τι λές¨;

Γιώργος Απόκης · #5

Nαι, Διονύση. Τότε θα ισχύει.

Η απόδειξη είναι απλή : Aν $\displaystyle{A(x_1,y_1),~B(-x_1,-y_1)}$ είναι δύο αντιδιαμετρικά σημεία της έλλειψης, τότε

$\displaystyle{(AB)=2(OA)}$ αλλά από τη θεωρία έχουμε ότι $\displaystyle{\beta\leq(OA)\leq a\Rightarrow 2\beta\leq (AB)\leq 2a\Rightarrow 6\leq |z_1-z_2|\leq 10}$

Έτσι όπως είναι διατυπωμένο όμως η ελάχιστη τιμή είναι το $\displaystyle{0}$ .

Kλασσική

Kλασσική

Re: Kλασσική

Re: Kλασσική

Re: Kλασσική

Re: Kλασσική

Μέλη σε σύνδεση