Συμμετρικοί μιγαδικοί

Θεοδωρος Παγωνης · #1

Αν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών $z=1+i\left[ {{\left( {{\lambda }^{2}}-\lambda +1 \right)}^{2}}+\left( {{a}^{4}}+{{a}^{2}}-a-1 \right) \right]$ και $w=-1+i\left[ {{\left( {{\lambda }^{2}}-\lambda +1 \right)}^{2}}+\left( 4{{a}^{3}}-5{{a}^{2}}+3a-2 \right) \right]$ , $a,\lambda \in \mathbb{R}$ , είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα {y}'y

, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του

.

Υ.Γ. Διορθωμένη μετά από προσωπικό μήνυμα του Γιώργου Απόκη και τηλέφωνο του Τόλη (Tolaso) , τους οποίους και ευχαριστώ πολύ.

Γιώργος Απόκης · #2

Αφού τα πραγματικά μέρη είναι αντίθετα, πρέπει και αρκεί τα φανταστικά μέρη να είναι ίσα, δηλαδή

$\displaystyle{a^4+a^2-a-1=4a^3-5a^2+3a-2\Leftrightarrow a^4-4a^3+6a^2-4a+1=0}$ . Η εξίσωση έχει ρίζα το $\displaystyle{1}$

και με σχήμα Horner γίνεται $\displaystyle{(a-1)(a^3-3a^2+3a-1)=0\Leftrightarrow (a-1)(a-1)^3=0\Leftrightarrow a=1}$ .

Αντικαθιστούμε και έχουμε $\displaystyle{z=1+i(\lambda^2-\lambda+1)^2}$ . Το τριώνυμο έχει ελάχιστο ίσο με $\displaystyle{\frac{3}{4}}$ άρα θα ισχύει

$\displaystyle{Re(z)=1,Im(z)\geq \frac{9}{16}}$ άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι τα σημεία $\displaystyle{M(1,y)}$ με $\displaystyle{y\geq \frac{9}{16}}$ (κατακόρυφη ημιευθεία).

Συμμετρικοί μιγαδικοί

Συμμετρικοί μιγαδικοί

Re: Συμμετρικοί μιγαδικοί

Μέλη σε σύνδεση