Πολυώνυμο

erxmer · #1

Δίνεται η συνάρτηση $f:C \to C$ με τύπο f(z)=z^3-14z^2+57z+178

.Δείξτε οτι:

1) υπάρχουν $a,b \in R$ ώστε f(z)=(z+2)(z^2+az+b)

2) η εξίσωση f(z)=0

έχει τρεις διακεκριμένες λύσεις, τις οποίες και να προσδιορίσετε

3) αν z_1

είναι η πραγματική λύση και z_2, z_3

οι υπόλοιπες να υπολογίσετε τη εικόνα του βαρύκεντρου του τριγώνου M_1M_2M_3

. Οπου

οι αντίστοιχες εικόνες των ανωτέρω λύσεων.

4) $\displaystyle{\lim_{x \to 0}\frac{x^3-14x^2+57z+178}{x^x}=178}$ , $\displaystyle{\lim_{x \to 0}\frac{sinx(x^3-14x^2+57x+178)}{lnx}=0}$

gavrilos · #2

Καλησπέρα.

Α) Παρατηρούμε πως $\displaystyle{f(-2)=8-14\cdot 4-57\cdot 2+178=0}$ άρα το $\displaystyle{z+2}$ είναι παράγοντας του $\displaystyle{f(z)}$ .Το πηλίκο είναι προφανώς τριώνυμο.

Άρα το $\displaystyle{f(z)}$ μπορεί να γραφεί $\displaystyle{(z+2)\pi (x)=(z+2)(z^2+az+b)}$ (ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου είναι μονάδα στο $\displaystyle{f(z)}$ και στο διαιρέτη άρα και στο πηλίκο).

Β) Έχουμε $\displaystyle{f(z)=(z+2)(z^2+az+b)=z^{3}+(a+2)z^{2}+(b+2a)z+2b}$ .Πρέπει $\displaystyle{a+2=-14,b+2a=57,2b=178}$ .

Άρα $\displaystyle{(a,b)=(-16,89)}$ .Άρα $\displaystyle{f(z)=(z+2)(z^2-16z+89)}$ .Η μια ρίζα είναι το $\displaystyle{-2}$ και οι άλλες δύο οι ρίζες του $\displaystyle{z^2-16+89}$

που είναι οι $\displaystyle{z_{1,2}=8\pm 5i}$ .

Γ) Οι εικόνες των ριζών είναι οι $\displaystyle{(-2,0),(8,5),(8,-5)}$ .Ως γνωστόν οι συντεταγμένες του βαρυκέντρου δίνονται από τον $\displaystyle{\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)}$

όπου $\displaystyle{(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)}$ οι συντεταγμένες των κορυφών.Με αντικατάσταση παίρνουμε $\displaystyle{G\left(\frac{-2+8+8}{3},\frac{0+5-5}{3}\right)\equiv \left(\frac{14}{3},0\right)}$ .

Δ) Παρατηρούμε πως $\displaystyle{x^{x}=\left(e^\ln x\right)^x=e^{x\ln x}}$ .Έχουμε $\displaystyle{\lim_{x\to 0}x\ln x=\lim_{x\to 0} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}}$ .

Οι συναρτήσεις $\displaystyle{\ln x,\frac{1}{x}}$ είναι παραγωγίσιμες με συνεχείς παραγώγους,και το όριο εμφανίζει απροσδιοριστία $\displaystyle{-\frac{+\infty}{+\infty}}$ .

Άρα μπορούμε να εφαρμόσουμε κανόνα De'L Hospital.Το όριο τώρα ισούται με $\displaystyle{\lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^{2}}}=\lim_{x\to 0} -x=0}$ .

Άρα $\displaystyle{\lim_{x\to 0}e^{x\ln x}=e^{0}=1}$ .Επομένως $\displaystyle{\lim_{x\to 0} \frac{x^{3}-14x^{2}+57x+178}{x^{x}}=\frac{178}{1}=178}$ . $\displaystyle{c\cdot \frac{0}{-\infty}}$ δηλαδή το όριο είναι $\displaystyle{0}$ .

Ελπίζω να μην υπάρχουν κενά.

Edit:Απόσυρση του υπολογισμού του δεύτερου ορίου,λόγω ανεπαρκούς αιτιολόγησης.Αν μπορεί κάποιος ας παραθέσει τη λύση του.

#3

$\displaystyle{sinx\frac{x^3-14x^2+57x+178}{lnx}=\frac{sinx}{x}\frac{x}{lnx}(x^3-14x^2+57x+178)}$ .

$\displaystyle{\lim_{x\to 0}{\frac{sinx}{x}}=1}$

$\displaystyle{\lim_{x\to 0}{\frac{1}{lnx}x}=0.0=0}$

$\displaystyle{\lim_{x\to 0}{x^3-14x^2+57x+178}=178}$
επεται το ζητούμενο

Πολυώνυμο

Πολυώνυμο

Re: Πολυώνυμο

Re: Πολυώνυμο

Μέλη σε σύνδεση