Nιοστή

erxmer · #1

Δίνεται μιγαδικός z_1

για τον οποίο z_1^n=3+4i

και $z_1^{n+1}=2+11i , n \in N^*, n>1$
Επίσης δίνεται μιγαδικός

ο οποίος κινείται πάνω στον κύκλο με κέντρο K(0,1)

και ακτίνα 1.

Β1. Να δείξετε ότι z_1=2+i, n=2

Β2. Να δείξετε ότι ο μιγαδικός $\displaystyle{w=\frac{z^n}{z-z_1+2}}$ είναι φανταστικός.

Β3. Να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών $\displaystyle{u=w-z-i}$ κινούνται πάνω στον μοναδιαίο κύκλο.

Β4. Αν u_1,u_2,u_3

τρείς από τους μιγαδικούς

του ανωτέρω ερωτήματος να δείξετε
ότι $\displaystyle{\begin{cases} u_1+u_2+3u_3 \neq 0\\ \\ \left| \frac{3+4i}{u_1+u_2+3u_3}\right| \geq 1 \end{cases}}$

#2

erxmer έγραψε:Δίνεται μιγαδικός για τον οποίο και $z_1^{n+1}=2+11i , n \in N^*, n>1$
Επίσης δίνεται μιγαδικός ο οποίος κινείται πάνω στον κύκλο με κέντρο και ακτίνα 1.

Β1. Να δείξετε ότι

Β2. Να δείξετε ότι ο μιγαδικός $\displaystyle{w=\frac{z^n}{z-z_1+2}}$ είναι φανταστικός.

Β3. Να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών $\displaystyle{u=w-z-i}$ κινούνται πάνω στον μοναδιαίο κύκλο.

Β4. Αν τρείς από τους μιγαδικούς του ανωτέρω ερωτήματος να δείξετε
ότι $\displaystyle{\begin{cases} u_1+u_2+3u_3 \neq 0\\ \\ \left| \frac{3+4i}{u_1+u_2+3u_3}\right| \geq 1 \end{cases}}$

B1. $\displaystyle{z_1 = \frac{{{z_1}^{n + 1}}}{{{z_1}^n}} = \frac{{2 + 11i}}{{3 + 4i}} = \frac{{(2 + 11i)(3 - 4i)}}{{25}} = \frac{{50 + 25i}}{{25}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{z_1=2+i}$

z_1^2=(2+i)^2=3+4i=z_1^n

. Άρα $\boxed{n=2}$

B2. $\displaystyle{w = \frac{{{z^2}}}{{z + i}}}$ με |z-i|=1

.

$\displaystyle{|z - i{|^2} = 1 \Leftrightarrow (z - i)(\overline z + i) = 1 \Leftrightarrow z\overline z + i(z - \overline z ) = 0 \Rightarrow }$

$\displaystyle{(z + \overline z )z\overline z + i\left( {{z^2} - {{\overline z }^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow {z^2}\overline z + {z^2}i = - z{\overline z ^2} + i{\overline z ^2} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{z^2}(\overline z + i) = - {\overline z ^2}(z - i) \Leftrightarrow \frac{{{z^2}}}{{z - i}} = - \frac{{{{\overline z }^2}}}{{\overline z + i}} \Leftrightarrow w = - \overline w \Leftrightarrow }$ $\boxed{w \in I}$

B3. Αρκεί να δείξω ότι |u|=1

.

$\displaystyle{|u| = |w - z - i| = \left| {\frac{{{z^2}}}{{z - i}} - (z + i)} \right| = \left| {\frac{{ - 1}}{{z - i}}} \right| = \frac{1}{{|z - i|}} = 1}$

B4. Έστω ότι $\displaystyle{{u_1} + {u_2} + 3{u_3} = 0 \Leftrightarrow {u_1} + {u_2} = - 3{u_3} \Rightarrow |{u_1} + {u_2}| = | - 3{u_3}| = 3}$ , που είναι άτοπο γιατί $\displaystyle{|{u_1} + {u_2}| \le |{u_1}| + |{u_2}| = 2}$ . Άρα $\boxed{{u_1} + {u_2} + 3{u_3} \ne 0}$

$\displaystyle{|{u_1} + {u_2} + 3{u_3}| \le |{u_1}| + |{u_2}| + 3|{u_3}| \Leftrightarrow |{u_1} + {u_2} + 3{u_3}| \le 5 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\frac{5}{{|{u_1} + {u_2} + 3{u_3}|}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{{|3 + 4i|}}{{|{u_1} + {u_2} + 3{u_3}|}} \ge 1 \Leftrightarrow \left| {\frac{{3 + 4i}}{{{u_1} + {u_2} + 3{u_3}}}} \right| \ge 1}$

Nιοστή

Nιοστή

Re: Nιοστή

Μέλη σε σύνδεση