Απλή στους Μιγάδες...

M.S.Vovos · #1

Έστω ο μιγαδικός αριθμός

, με

και $a\in \mathbb{R}$ .

1. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού z^2

είναι ο θετικός ημιάξονας των τεταγμένων με την αρχή των αξόνων.

2. Αν z^3=-2+2i

, να δείξετε ότι a=1

και ότι $\left | z \right |=\sqrt{2}$ .

#2

M.S.Vovos έγραψε:Έστω ο μιγαδικός αριθμός , με και $a\in \mathbb{R}$ .

1. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού είναι ο άξονας των τεταγμένων.

Καλησπέρα. Απλό και ενδιαφέρον. Μήπως θα ήταν ορθότερο να πούμε: ... ο θετικός ημιάξονας των τεταγμένων, με την αρχή των αξόνων;

Θα ήθελα τη γνώμη σας, αν και έχουμε πολλάκις αναφερθεί: Πώς να διακρίνουμε (λεκτικά) την περίπτωση όπου η εικόνα του μιγαδικού διατρέχει το γεωμετρικό τόπο, από την περίπτωση να παίρνει κάποιες τιμές, όπως εδώ;

M.S.Vovos · #3

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:Έστω ο μιγαδικός αριθμός , με και $a\in \mathbb{R}$ .

1. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού είναι ο άξονας των τεταγμένων.
Καλησπέρα. Απλό και ενδιαφέρον. Μήπως θα ήταν ορθότερο να πούμε: ... ο θετικός ημιάξονας των τεταγμένων, με την αρχή των αξόνων;

Θα ήθελα τη γνώμη σας, αν και έχουμε πολλάκις αναφερθεί: Πώς να διακρίνουμε (λεκτικά) την περίπτωση όπου η εικόνα του μιγαδικού διατρέχει το γεωμετρικό τόπο, από την περίπτωση να παίρνει κάποιες τιμές, όπως εδώ;

Κύριε Ρίζο, νομίζω πως έχετε απόλυτο δίκιο, θα το διορθώσω λίαν συντόμως.

#4

Καλησπέρα, ας δώσουμε μιαν απάντηση και μια γενίκευση:

1. 'Εστω $\displaystyle z = a + ai,\;\;a \in R$ , οπότε $\displaystyle {z^2} = {a^2} + {\left( {ai} \right)^2} + 2a \cdot ai = {a^2} - {a^2} + 2{a^2}i = 2{a^2}i$

Άρα $\displaystyle {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {{z^2}} \right) = 0,\;\;{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {{z^2}} \right) = 2{a^2} \ge 0$ , οπότε ο Γ.Τ. των εικόνων του z^2

είναι η ημιευθεία $\displaystyle x = 0,\;\;y \ge 0$

2. 'Εστω $\displaystyle z = a + ai,\;\;a \in R$ , οπότε $\displaystyle {z^3} = - 2 + 2i \Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l} {a^3} - 3{a^3} = - 2\\ 3{a^3} - {a^3} = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow a = 1$

άρα $\displaystyle z = 1 + i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2$

Γενικότερα,

Έστω $\displaystyle z = x + yi,\;\;x,\;y \in R$

Τότε $\displaystyle {z^3} = - 2 + 2i \Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l} {x^3} - 3x{y^2} = - 2\\ 3{x^2}y - {y^3} = 2 \end{array} \right.$ οπότε, προσθέτοντας κατά μέλη, είναι $\displaystyle {x^3} - 3x{y^2} + 3{x^2}y - {y^3} = 0 \Rightarrow x = y$ ή $x=(-2+\sqrt{3})y$ ή $x=(-2-\sqrt{3})y$ , άρα η παραπάνω σχέση ισχύει για Re(z) = Im(z)

, αλλά δεν είναι "ισοδύναμη", αφού υπάρχουν κι άλλες λύσεις.

Απλή στους Μιγάδες...

Απλή στους Μιγάδες...

Re: Απλή στους Μιγάδες...

Re: Απλή στους Μιγάδες...

Re: Απλή στους Μιγάδες...

Μέλη σε σύνδεση