Kλασσική

erxmer · #1

Δίνεται η εξίσωση $z^2-az+b=0\, a,b \in R\,, z \in C$ και z_1,z_2

είναι οι ρίζες της με z_1=2+i

1) Να αποδείξετε ότι a=4, b=5

2) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{z_1^{2016}+z_2^{2016}}$ είναι πραγματικός

Αν επιπλέον A(z_1), B(z_2), D(z_3)

είναι οι εικόνες των z_1,z_2,z_3

αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο με $\displaystyle{z_3=\frac{z_1}{z_2}+\frac{1}{5}(17+i)}$ ,τότε:

3) Να αποδείξετε ότι το ABD

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές

4) Αν $\displaystyle{|u-z_1|=|\bar{u}-z_1|}$ να αποδείξετε ότι $u \in R$

5) Να προσδιορίσετε γεωμετρικά τις εικόνες των μιγαδικών αριθμών

που
επαληθεύουν τη σχέση $|w-z_2+2|+|\bar{w}-z_2+2|=10$

M.S.Vovos · #2

erxmer έγραψε:Δίνεται η εξίσωση $z^2-az+b=0\, a,b \in R\,, z \in C$ και είναι οι ρίζες της με

1) Να αποδείξετε ότι

2) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{z_1^{2016}+z_2^{2016}}$ είναι πραγματικός

Αν επιπλέον είναι οι εικόνες των αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο με $\displaystyle{z_3=\frac{z_1}{z_2}+\frac{1}{5}(17+i)}$ ,τότε:

3) Να αποδείξετε ότι το είναι ορθογώνιο και ισοσκελές

4) Αν $\displaystyle{|u-z_1|=|\bar{u}-z_1|}$ να αποδείξετε ότι $u \in R$

5) Να προσδιορίσετε γεωμετρικά τις εικόνες των μιγαδικών αριθμών που
επαληθεύουν τη σχέση $|w-z_2+2|+|\bar{w}-z_2+2|=10$

1) Αφού ο μιγαδικός αριθμός $z_{1}$ είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε σημαίνει πως την επαληθεύει. Άρα θα ισχύει:

$(2+i)^{2}-a(2+i)+b=0\Leftrightarrow$

$4+4i-1-2a-ai+b=0\Leftrightarrow$

$(3-2a+b)-(a-4)i=0+0i\Leftrightarrow$

$\begin{Bmatrix} -2a+b+3=0 \\ a-4=0 \end{Bmatrix}\Rightarrow \begin{Bmatrix} a=4 \\ b=5 \end{Bmatrix}$

2) Ισχύει ότι $z_{2}=\bar{z_{1}}\Leftrightarrow z_{2}=2-i$ . Επομένως:

$z_{1}^{2016}+z_{2}^{2016}=(2+i)^{2016}+(2-i)^{2016}=[(3+4i)^2]^{1008}+[(3-4i)^2]^{1008}=...\in \mathbb{R}$

3) $\displaystyle z_{3}=\frac{2+i}{2-i}+\frac{1}{5}(17+i)=\frac{(2+i)^2}{5}+\frac{1}{5}(17+i)=\frac{3+4i+17+i}{5}\Leftrightarrow$

$z_{3}=4+i$

Ισχύει $A(z_{1})= (2,1),B(z_{2})= (2,-1),D(z_{3})=(4,1)$ . Άρα:

$(AB)=\sqrt{(x_{A}-x_{B})^2+(y_{A}-y_{B})^2}=2$ . Ομοίως:

(AD)=2

. Άρα, το τρίγωνο ABD

είναι ισοσκελές.

Επίσης: (BD)=4

Άρα, ισχύει $(AB)^2+(AD)^2=(BD)^2\Leftrightarrow 16=16$ . Επομένως, το τρίγωνο ABD

είναι και ορθογώνιο.

4) $|u-(2+i)|=|\bar{u}-(2-i)|\Leftrightarrow |u-(2+i)|=\overline{|u-(2-i)|}\Leftrightarrow |u-(2+i)|=|u-(2-i)|$

Άρα, ο γεωμετρικός τόπος των μιγαδικών

είναι η ευθεία με άκρα K(2,1)

και

και εξίσωση y=0

.

Επομένως, ο μιγαδικός αριθμός

κίνειται πάνω στον άξονα x'x

των πραγματικών αριθμών. Άρα, $u\in \mathbb{R}$ .

5) Προκύπτει ότι |w+i|+|w-i|=10

. Άρα, ο γ.τόπος είναι έλλειψη με εξίσωση $\displaystyle \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^2}{21}=1$ και εκκεντρότητα $\displaystyle E=\frac{2}{5}$ .

Kλασσική

Kλασσική

Re: Kλασσική

Μέλη σε σύνδεση