Μιγαδικοί και μέτρα μέρος ΙΙ

#1

Αν $\displaystyle{a,b,c \in \mathbb{R}}$ και $\displaystyle{z \in \mathbb{C}}$ , να αποδείξετε ότι η εικόνα κάθε ρίζας της εξίσωσης
$\displaystyle{z^3 \sigma \upsilon \nu a+z^2\sigma \upsilon \nu b +z \sigma \upsilon \nu c -1 = 0}$ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου με κέντρο (0,0)

και ακτίνα $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ .

STOPJOHN · #2

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Αν $\displaystyle{a,b,c \in \mathbb{R}}$ και $\displaystyle{z \in \mathbb{C}}$ , να αποδείξετε ότι η εικόνα κάθε ρίζας της εξίσωσης
$\displaystyle{z^3 \sigma \upsilon \nu a+z^2\sigma \upsilon \nu b +z \sigma \upsilon \nu c -1 = 0}$ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου με κέντρο και ακτίνα $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ .

Αν $_{1}$ είναι ρίζα της δοθείσας εξίσωσης θα ισχύει $z_{1}^{3}cosa+z_{1}^{2}cosb+z_{1}cosc=1\Rightarrow \left|z_{1} \right|\left|z_{1} ^{2}cosa+z_{1}cosb+cosc\right|=1\Leftrightarrow \left|z_{1} \right|=\dfrac{1}{\left|z_{1}^{2}cosa+z_{1}cosb+cosc \right|}>\dfrac{1}{\left\left\left|z_{1}^{2} \right|+ \left|z_{1} \right| +1\right| \right}$

Θέτω $\left|z_{1} \right|=k, k>0 k^{3}+k^{2}+k-1>0,(*)$

Εστω ότι είναι

$k\leq \dfrac{1}{2}, k^{3}+k^{2}+k-1\leq \dfrac{-1}{8}<0$

Ατοπο απο την (*)

Γιάννης

Μιγαδικοί και μέτρα μέρος ΙΙ

Μιγαδικοί και μέτρα μέρος ΙΙ

Re: Μιγαδικοί και μέτρα μέρος ΙΙ

Μέλη σε σύνδεση