Ξεχνιούνται οι μιγαδικοί;

#1

Καλησπέρα.
Αμφιταλαντεύτηκα που να το δημοσιεύσω. Αποφάσισα εδώ.
Αν a, b

είναι μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\left| {az + b\overline z } \right| \le 1}$ για κάθε $z\in \mathbb{C}$ με |z|=1

αν και μόνο αν $|a|+|b|\le1$

Edit: Φυσικά και ο

δεν ήταν ακέραιος όπως εκ παραδρομής γράφτηκε αλλά μιγαδικός. Ευχαριστώ τον Γιάννη Σταματογιάννη για την υπόδειξη!

#2

chris_gatos έγραψε: Αν είναι μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\left| {az + b\overline z } \right| \le 1}$ για κάθε $z\in \mathbb{Z}$ με αν και μόνο αν $|a|+|b|\le1$

Γεια σου Χρήστο.

$(\Leftarrow)$ Για οποιοδήποτε $z\in \mathbb{Z}$ με |z|=1

έχουμε

$\displaystyle{\left| {az + b\overline z } \right|\le | a ||z| + |b||\overline z| = |a|+|b|\le 1}$ , όπως θέλαμε.

$(\Rightarrow)$ Γράφουμε $a=|a| (\cos \phi +i \sin \phi ), \, b=|b| (\cos \theta +i \sin \theta )$ (τριγωνομετρική μορφή μιγαδικών) και επιλέγουμε $z= \cos \frac { \theta-\phi }{2} + i\sin \frac { \theta- \phi }{2}$ , οπότε |z|=1

. Έχουμε τότε εξ υποθέσεως

$\displaystyle{\left| {az + b\overline z } \right| \le 1}$ .

Επίσης με χρήση της $\overline z = \cos \frac { \phi -\theta }{2} + i\sin \frac { \phi-\theta }{2}$ έχουμε

$\displaystyle{\left| {az + b\overline z } \right| = \left | |a| (\cos \phi +i \sin \phi )(\cos \frac { \theta-\phi }{2} + i\sin \frac {\theta-\phi }{2}) + |b| (\cos \theta +i \sin \theta )(\cos \frac {\phi - \theta}{2} + i\sin \frac {\phi - \theta}{2}) \right |}$

$\displaystyle{= \left | |a| (\cos \frac {\phi + \theta}{2} + i\sin \frac {\phi + \theta}{2}) + |b| (\cos \frac {\phi + \theta}{2} + i\sin \frac {\phi + \theta}{2}) \right |= (|a|+|b|) \left | \cos \frac {\phi + \theta}{2} + i\sin \frac {\phi + \theta}{2}\right | }$

$\displaystyle{= |a|+|b| }$

Η ισότητα αυτή σε συνδυασμό με την προηγούμενη ανισότητα δίνει το ζητούμενο.

Φιλικά,

Μιχάλης

AlexandrosG · #3

Καλησπέρα. Ωραίο!

Μια λύση λίγο διαφορετική από του κ.Μιχάλη και εκτός ύλης Λυκείου (!)

Η μια κατεύθυνση είναι άμεση από την τριγωνική ανισότητα.

Για την άλλη κατεύθυνση, θα λύναμε το πρόβλημα άμεσα αν βρίσκαμε

με

τέτοιο ώστε $\displaystyle{|az+b\overline z|=|a|+|b|\quad (*)}$ . Βρίσκουμε $\theta$ τέτοιο ώστε $e^{2i\theta}=\frac{|a|}{|b|}\frac{b}{a}$ . Τέτοιο $\theta$ υπάρχει διότι το δεξί μέλος έχει μέτρο

. Χρησιμοποιούμε το $z=e^{i\theta}$ . Αυτό δουλεύει στην (*)

:

$\displaystyle{|az+b\overline z|=|ae^{i\theta}+be^{-i\theta}|=|e^{-i\theta}||ae^{2i\theta}+b|=\Big|a\frac{|a|}{|b|}\frac{b}{a}+b\Big|=|b|\Big(\frac{|a|}{|b|}+1\Big)=|a|+|b|.}$

(!) Με την παρατήρηση του κ.Μιχάλη παρακάτω, θυμήθηκα ότι ο ορισμός του $e^{i\theta}$ είναι εκτός ύλης Λυκείου. Με συγχωρείτε, έχουν περάσει χρόνια.

#4

Ήθελα να αποφύγω το $e^{i \theta }$ και τα παρόμοια γιατί είμαστε σε φάκελο Λυκείου.

Αν αντικαταστήσουμε το $\cos \theta + i \sin \theta$ που έγραψα, καθώς και τα παρεμφερή, με το $e^{i \theta }$ κλπ, οι δύο λύσεις είναι ουσιαστικά ίδιες.

#5

Εγώ το έθεσα σε αυτόν το φάκελο με την ελπίδα να επιστρέψουν όχι μόνο οι μιγαδικοί, αλλά και η τριγωνομετρική μορφή τους!

Ξεχνιούνται οι μιγαδικοί;

Ξεχνιούνται οι μιγαδικοί;

Re: Ξεχνιούνται οι μιγαδικοί;

Re: Ξεχνιούνται οι μιγαδικοί;

Re: Ξεχνιούνται οι μιγαδικοί;

Re: Ξεχνιούνται οι μιγαδικοί;

Μέλη σε σύνδεση