ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

#41

dennys έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 55
Δίνονται οι συναρτήσεις $f(x),g(x): R \rightarrow R$ και ισχύει
$f(x)-(fog^{-1})(x)=8$
$3(fog)(x)+2(fog^{-1})(x)=10x-7$ $\forall x \in R$
1) Να βρείτε τις
2) Εστω συνάρτηση $h(x):R \rightarrow R$ και $h(g(f(x)))={e^{-2x}}-{4x}-{2} \forall x \in R$
τότε ι) Βρείτε την
ιι)νδο η αντιστρέφεται
iii) να λυθεί η ανίσωση ${\cfrac {e}{e^{x^2}}}-{\cfrac{e}{e^{3x}}>2{x^{2}}-6x$
iv) βρείτε τα όρια : $lim_x\to +\infty{\cfrac{h(x)}{x}}$
$lim_x\to +\infty {\cfrac{h(x^2+1)}{{e^{-x}+1}}$
$lim_x\to +\infty {\cfrac{{h^{-1}(e)}{x^3}+2{x^2}+3}{x^2+5x}$
3)νδο η εξίσωση έχει μια τουλάχιστο ρίζα θετική.
φιλικά και καλό βράδυ

ΛΥΣΗ

1) Είναι $f(x)-(f\circ {{g}^{-1}})(x)=8$ (1) και $3(f\circ g)(x)+2(f\circ {{g}^{-1}})(x)=10x-7,\,\,\,x\in R$ (2) άρα ισχύει $(f\circ {{g}^{-1}})(x)=f(x)-8$
και αντικαθιστώντας στην (2) προκύπτει ότι $3(f\circ g)(x)+2f(x)-16=10x-7\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 3(f\circ g)(x)+2f(x)=10x+9,\,\,\,x\in R$ (3)

και για

το

στην (1) έχουμε ότι $f(g(x))-(f\circ {{g}^{-1}})(g(x))=8\Leftrightarrow (f\circ g)(x)-f(x)=8\Leftrightarrow (f\circ g)(x)=f(x)+8$ οπότε από (3)

$\Leftrightarrow 3(f(x)+8)+2f(x)=10x+9,\,\,\,x\in R\Leftrightarrow 5f(x)=10x-15\Leftrightarrow f(x)=2x-3$ Επίσης από (3) θα ισχύει τώρα

$\Leftrightarrow 3f(g(x))+2f(x)=10x+9\Leftrightarrow 3(2g(x)-3)+2(2x-3)=10x+9$ απ όπου προκύπτει g(x)=x+4

2) i) Είναι g(f(x))=f(x)+4=2x-3+4=2x+1

επομένως θα ισχύει ότι

$h(2x+1)=\frac{1}{{{e}^{2x}}}-2(2x)-2=\frac{e}{{{e}^{2x+1}}}-2(2x+1)$ απ όπου προκύπτει ότι $h(x)=\frac{e}{{{e}^{x}}}-2x$

ii) Για ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}\in R$ με ${{x}_{1}}<\,{{x}_{2}}$ ισχύουν ότι $-2{{x}_{1}}>-2{{x}_{2}}$ και ${{e}^{{{x}_{1}}}}<{{e}^{{{x}_{2}}}}\Leftrightarrow \frac{e}{{{e}^{{{x}_{1}}}}}>\frac{e}{{{e}^{{{x}_{2}}}}}$ και με πρόσθεση κατά μέλη

προκύπτει ότι $h({{x}_{1}})>h({{x}_{2}})$ οπότε η

είναι γνήσια φθίνουσα στο

άρα 1-1 οπότε αντιστρέφεται

iii) H ανίσωση γράφεται ισοδύναμα $\frac{e}{{{e}^{{{x}^{2}}}}}-2{{x}^{2}}>\frac{e}{{{e}^{3x}}}-2(3x)\Leftrightarrow h({{x}^{2}})>h(3x)$ και επειδή

είναι γνήσια φθίνουσα ισχύει

${{x}^{2}}<3x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x<0\Leftrightarrow \,0<x<3$

iv) Είναι $\frac{h(x)}{x}=\frac{e}{x{{e}^{x}}}-2$ και επειδή $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(x{{e}^{x}})=+\infty$ το $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{h(x)}{x}=-2$

ακόμη $\frac{h({{x}^{2}}+1)}{{{e}^{-x}}+1}=\frac{h({{x}^{2}}+1)}{{{x}^{2}}+1}\frac{{{x}^{2}}+1}{{{e}^{-x}}+1}$ και επειδή $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+1}{{{e}^{-x}}+1}=+\infty$ και $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{h({{x}^{2}}+1)}{{{x}^{2}}+1}=\underset{u\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{h(u)}{u}=-2$ το $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{h({{x}^{2}}+1)}{{{e}^{-x}}+1}=-\infty$

Τώρα αν επειδή $h(0)=e\Leftrightarrow {{h}^{-1}}(e)=0$ και το $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{h}^{-1}}(e){{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+3}{{{x}^{2}}+5x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{2}}+3}{{{x}^{2}}+5x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}}=2$

3) Θεώρουμε την συνάρτηση $t(x)=h(x)-\ln x,\,\,\,x\in (0,\,\,\,+\infty )$ που είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών

και επειδή $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\ln x=-\infty$ και $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,h(x)=h(0)=e-2$ το $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,t(x)=-\infty$

Επίσης επειδή $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{h(x)}{x}=-2$ ισχύει $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,h(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{h(x)}{x}x \right)=-\infty$ και $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\ln x=+\infty$ θα είναι $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,t(x)=+\infty$

οπότε η $t(x)=h(x)-\ln x$ έχει σύνολο τιμών το

επομένως θα έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο $(0,\,\,+\infty )$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

pana1333 · #42

κλασική απλή έμπνευση.....

Άσκηση 56

Δίνεται η συνάρτηση $f:\left(0,+\propto \right)\rightarrow \left(0,+\propto \right)$ για την οποία ισχύει $f^{2}\left(x \right)+lnf\left(x \right)-lnx-1=0$ .

A) Να βρεθεί το f(1)

B) Να λυθεί η εξίσωση $\frac{f\left(x \right)}{x}=f\left(1 \right)$

alexandropoulos · #43

ΑΣΚΗΣΗ 57

Έστω συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ με $f(x)\geq 1$ για την οποία ισχύει (f(x)-k)(f(y)+3k)=k

για κάθε $x,y\epsilon R$ και $k\epsilon R$ .
α. Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού

.
β. Για τη μικρότερη θετική ακέραια τιμή του

να δειχθεί ότι η

είναι συνεχής.

διορθώθηκε η απουσία του

dennys · #44

ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΑΣΚ 56
1) Η δοσμένη για $x=1 \rightarrow {{f(1)}^2+ln{(f(1)})-ln1-1=0 \Leftrightarrow$ αν θέσω g(x)=x^2+lnx-1

αυτή είναι γν αυξουσα
στο $(0,+\infty)$ γιατί g '(x)>0

και

μοιναδική λύση. Αρα f(1)=1

2) Για $f(1)=1 \rightarrow f(x)=x$ αρα x^2+lnx-lnx-1=0

αρα

STOPJOHN · #45

Άσκηση 57
κ.Alexandropoule η σχέση που δόθηκε είναι σωστή ; που είναι του

;
Φιλικά
Γιάννης Σ

dennys · #46

ΑΣΚΗΣΗ 58

ΑΣΚΗΣΗ 58

Δίνεται συνάρτηση $f(x):R \rightarrow (0,+\infty)$ ωστε f(x)f(y)=f(x+y)

η οποία είναι συνεχής στο x_0=0

και

a) να αποδείξετε οτι : $f(0)=1 ,f(-1)=e^{-1}$

b) Nα αποδείξετε οτι είναι συνεχής στο

c) Αν είναι γνησίως μονότονη τότε:

i) να βρεθεί η μονοτονία της

ii) Να βρεθεί το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)}$ και το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x)}$

d) Να δειχθεί οτι υπάρχει $x_0\in (0,1) : 3f(x_0)=f(2^{-1})+f(3^{-1})+f(4^{-1})$

e) Να βρείτε τα ορια :

i. $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } f^{ - 1} (x)}$

ii. $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f^{ - 1} (x)}$

iii. $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(1 - x)}}{{f(x)}}}$

h) Για $\displaystyle{a,b > 0}$ , να δείξετε οτι $\displaystyle{f^{ - 1} (ab) = f^{ - 1} (a) + f^{ - 1} (b)}$

j) Βρείτε το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f^{ - 1} (x^2 )}}{{f^{ - 1} (x)}}}$

k) να δείξετε οτι υπάρχει τουλάχιστον ενα $x_1>0: f^{-1}(x_1)=x_1^{-1}$

l) να βρείτε το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f^{-1}(f (x))}}{{f(x)}}}$

Ευχαριστώ τον Δημήτρη Κατσίποδα για την βοήθειά του να παρουσιάσω καλύτερα την ασκηση
ΕΓΙΝΕ ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΣΤΟ ΤΕΛΕΥΤΑΙΟ ΟΡΙΟ
Φιλικά dennys

perpant · #47

Dennys στη λύση της άσκησης 56 δεν καταλαβαίνω κάτι. Αν θέλεις εξήγησέ το λίγο.Η εξίσωση είναι $\displaystyle{\frac{{f\left( x \right)}}{x} = 1}$ . Από αυτή τη σχέση έπεται ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ ισούται με $\displaystyle{x}$ για να αντικαταστήσουμε στην αρχική σχέση;

EDIT: Είχα βάλει λάθος παράθεση

perpant · #48

Πολλά ερωτήματα μεν, όχι δύσκολη δε…

ΑΣΚΗΣΗ 59

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = x^3 + 7x - 5}$ .

i) Να αποδείξετε ότι:
α) Η $\displaystyle{f}$ είναι $\displaystyle{1 - 1}$

β) Η εξίσωση $\displaystyle{f\left( x \right) = 0}$ έχει μοναδική ρίζα στο $\displaystyle{\left( {0,1} \right)}$

ii) Αν είναι $\displaystyle{g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{f\left( x \right) - 3}}{{x - 1}},\,\,x \ne 1 \\ a^2 + 3a\,\,\,\,\,,\,x = 1 \\ \end{array} \right.}$ , να βρείτε το $\displaystyle{a \in \Re ^* }$ , ώστε η $\displaystyle{g\left( x \right)}$ να είναι συνεχής στο $\displaystyle{x_o = 1}$

iii) α) Να βρείτε τα όρια $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)}$ και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right)}$

β) Να δικαιολογήσετε το γεγονός ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $\displaystyle{x_o \in \Re }$ , ώστε να ισχύει $\displaystyle{f\left( {x_o } \right) = 7}$

γ) Να βρείτε ένα διάστημα της μορφής $\displaystyle{\left( {k,k + 1} \right)}$ , μέσα στο οποίο θα ανήκει αυτό το $\displaystyle{x_o \in \Re }$ , όπου $\displaystyle{k}$ ακέραιος

iv) Να βρείτε:
α) Το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)\eta \mu x}}{{x^4 }}}$

β) Τον πραγματικό αριθμό $\displaystyle{\lambda }$ , ώστε $\displaystyle{f\left( {\lambda ^3 - 5\lambda } \right) = f\left( {2\lambda - 6} \right)}$

Δημήτριος Κρικώνης · #49

perpant έγραψε:Πολλά ερωτήματα μεν, όχι δύσκολη δε…

ΑΣΚΗΣΗ 59

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = x^3 + 7x - 5}$ .

i) Να αποδείξετε ότι:
α) Η $\displaystyle{f}$ είναι $\displaystyle{1 - 1}$

β) Η εξίσωση $\displaystyle{f\left( x \right) = 0}$ έχει μοναδική ρίζα στο $\displaystyle{\left( {0,1} \right)}$

ii) Αν είναι $\displaystyle{g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{f\left( x \right) - 3}}{{x - 1}},\,\,x \ne 1 \\ a^2 + 3a\,\,\,\,\,,\,x = 1 \\ \end{array} \right.}$ , να βρείτε το $\displaystyle{a \in \Re ^* }$ , ώστε η $\displaystyle{g\left( x \right)}$ να είναι συνεχής στο $\displaystyle{x_o = 1}$

iii) α) Να βρείτε τα όρια $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right)}$ και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right)}$

β) Να δικαιολογήσετε το γεγονός ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $\displaystyle{x_o \in \Re }$ , ώστε να ισχύει $\displaystyle{f\left( {x_o } \right) = 7}$

γ) Να βρείτε ένα διάστημα της μορφής $\displaystyle{\left( {k,k + 1} \right)}$ , μέσα στο οποίο θα ανήκει αυτό το $\displaystyle{x_o \in \Re }$ , όπου $\displaystyle{k}$ ακέραιος

iv) Να βρείτε:
α) Το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)\eta \mu x}}{{x^4 }}}$

β) Τον πραγματικό αριθμό $\displaystyle{\lambda }$ , ώστε $\displaystyle{f\left( {\lambda ^3 - 5\lambda } \right) = f\left( {2\lambda - 6} \right)}$

i)

α)Eστω $x1,x2 \epsilon R$ με x1<x2

τοτε $(x1)^3<(x2)^3\Leftrightarrow (x1)^3+7x1-5<(x2)^3+7x2-5\Leftrightarrow f(x1)<f(x2)$ άρα η

γνησίως αύξουσα στο

άρα και

.

Η'

παραγωγίσιμη και συνεχής στο

με παράγωγο $f'(x)=3x^{2}+7>0$ για κάθε $x \in R$ άρα η

γνησίως αύξουσα στο

άρα και

β) Η

συνεχής στο [0,1]

με

και

άρα απο το θεώρημα bolzano υπάρχει τουλάχιστον ενα $x0 \in (0,1)$ τέτοιο ώστε f(x0)=0

και επειδη η f 1-1

το

μοναδικό.

γ) $\lim_{x\rightarrow 1}g(x)=$ \displaystyle{lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^3+7x-8}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(x^2+x+8)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}x^2+x+8=10 Αφού η f συνεχής θα πρέπει

a^2+3a=10\Leftrightarrow a^2+3a-10=0\Leftrightarrow (a-2)(a+5)=0\Leftrightarrow a=2

a=-5

\lim_{x\rightarrow +oo}f(x)=\lim_{x\rightarrow +oo}x^3=+oo \lim_{x\rightarrow -oo}f(x)=\lim_{x\rightarrow -oo}x^3=-oo β) Εφαρμογή του θεωρήματος Bolzano στο

[1,2]

h(x)=f(x)-7

\lim_{x\rightarrow +oo}\frac{f(x)sinx}{x^4}=\lim_{x\rightarrow +oo}\frac{(x^3+7x-5)sinx}{x^4}=\lim_{x\rightarrow +oo}\frac{(x^3+7x-5)}{x^3}\frac{sinx}{x}=0

f(l^3-5l)=f(2l-6) αφού η

f 1-1

l^3-5l=2l-6} $\Leftrightarrow$ \displaystyle{l^3-7l+6=0\Leftrightarrow} l=2

ή

perpant · #50

Δημήτριος Κρικώνης έγραψε: i)

α) Η παραγωγίσιμη και συνεχής στο R με παράγωγο $f'(x)=3x^{2}+7>0$ για κάθε $x \in R$ άρα η f γνησίως αύξουσα στο R άρα και 1-1.

β) Η συνεχής στο με και άρα απο το θεώρημα bolzano υπάρχει τουλάχιστον ενα $x0 \in (0,1)$ τέτοιο ώστε και επειδη η το χ0 μοναδικό.
lim
γ) $\lim_{x\rightarrow 1}g(x)=$ \displaystyle{lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^3+7x-8}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(x-1)(x^2+x+8)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}x^2+x+8=10a^2+3a=10\Leftrightarrow a^2+3a-10=0\Leftrightarrow (a-2)(a+5)=0\Leftrightarrow a=2a=-5\lim_{x\rightarrow +oo}g(x)=\lim_{x\rightarrow +oo}x^3=+oo \lim_{x\rightarrow -oo}g(x)=\lim_{x\rightarrow -oo}x^3=-oo[1,2]h(x)=f(x)-7\lim_{x\rightarrow +oo}\frac{f(x)sinx}{x^4}=\lim_{x\rightarrow +oo}\frac{(x^3+7x-5)sinx}{x^4}=\lim_{x\rightarrow +oo}\frac{(x^3+7x-5)}{x^3}\frac{sinx}{x}=0f(l^3-5l)=f(2l-6)l^3-5l=2l-6} $\Leftrightarrow$ \displaystyle{l^3-7l+6=0\Leftrightarrow} ή

Δημήτρη καλησπέρα. Στο α ερώτημα έχεις εξετάσει τη μονοτονία με παράγωγο. Επειδή είμαστε στη συλλογή θεμάτων στο κεφάλαιο όριο- συνέχεια, αν θέλεις άλλαξέ το και κάνε το με τον ορισμό της μονοτονίας. Επίσης στο iiia σου έχει ξεφύγει στο πρώτο όριο αντί για f γράφεις g. Φιλικά, Περικλής

Δημήτριος Κρικώνης · #51

οκ

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #52

AΣΚΗΣΗ 60
Θεωρούμε συνάρτηση

συνεχής και γνησίως μονότονη στο διάστημα [0,1]

για την

οποία ισχύει f^2(0)+f^2(1)+13=6f(0)+4f(1)

A.Nα αποδείξετε ότι :

(i) Η

είναι γνησίως φθίνουσα.

(ii) Υπάρχουν μοναδικά x_1

και

στο διάστημα (0,1)

τέτοια ώστε :

(α) Η γραφική παράσταση της

τέμνει την y=3x

σε σημείο με τετμημένη x_1

(β) $12f(x_2)=3f(1/e)+4f(1/\pi)+5f(1/2)$

B. Να λυθεί η ανίσωση $f(f^{-1}(lnx+4)-1)>3$

Γ. Ορίζουμε τους μιγαδικούς z=f(x)+if(x)

με $x \in [0,1]$

(i) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών

(ii) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του |z-5|

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #53

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ έγραψε:AΣΚΗΣΗ 60
Θεωρούμε συνάρτηση συνεχής και γνησίως μονότονη στο διάστημα για την

οποία ισχύει

A.Nα αποδείξετε ότι :

(i) Η είναι γνησίως φθίνουσα.

(ii) Υπάρχουν μοναδικά και στο διάστημα τέτοια ώστε :

(α) Η γραφική παράσταση της τέμνει την σε σημείο με τετμημένη

(β) $12f(x_2)=3f(1/e)+4f(1/\pi)+5f(1/2)$

B. Να λυθεί η ανίσωση $f(f^{-1}(lnx+4)-1)>3$

Γ. Ορίζουμε τους μιγαδικούς με $x \in [0,1]$

(i) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών

(ii) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του

ΛΥΣΗ

Α.(i).

$\displaystyle{f^2 (1) + 13 = 6f(0) + 4f(1) \Leftrightarrow f^2 (0) - 6f(0) + 9 + f^2 (1) - 4f(1) + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {f(0) - 3} \right)^2 + \left( {f(1) - 2} \right)^2 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(0) = 3 \\ \kappa \alpha \iota \\ f(1) = 2 \\ \end{array} \right. }$

Έχουμε οτι η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής και γνησίως μονότονη, επίσης $\displaystyle{0 < 1}$ ενώ $\displaystyle{f(0) > f(1)}$ , οπότε η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{[0,1]}$

A.ii.α.

Θεωρώ την συνάρτηση $\displaystyle{g(x) = f(x) - 3x,x \in [0,1]}$

Η $\displaystyle{g}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{[0,1]}$ ως πράξεις συνεχών

$\displaystyle{g(0) = f(0) = 3 > 0}$ και $\displaystyle{g(1) = f(1) - 3 = 2 - 3 = - 1 < 0}$

Οπότε από θεώρημα $\displaystyle{Bolzano}$ υπάρχει ένα τουλάχιστον $\displaystyle{x_1 \in (0,1)}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{g(x_1 ) = 0 \Leftrightarrow f(x_1 ) = 3x_1 }$

Για $\displaystyle{\alpha ,\beta \in [0,1]}$ με $\displaystyle{\alpha < \beta }$ έχουμε $\displaystyle{f(\alpha ) > f(\beta )}$ και $\displaystyle{\alpha < \beta \Rightarrow - 3\alpha > - 3\beta }$ , οπότε $\displaystyle{ f(\alpha ) - 3\alpha > f(\beta ) - 3\beta \Leftrightarrow g(\alpha ) > g(\beta )}$ ,επομένως η $\displaystyle{g}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{[0,1]}$ . Οπότε η $\displaystyle{x_1 }$ μοναδική ρίζα της εξίσωσης $\displaystyle{g(x) = 0}$ . Οπότε η γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ τέμνει την ευθεία $\displaystyle{y = 3x}$ σε ένα μόνο σημείο.

A.ii.β.

Έχουμε $\displaystyle{2 \le f(x) \le 3,\forall x \in [0,1]}$

Για $\displaystyle{x = \frac{1}{e} \in [0,1]}$ έχουμε $\displaystyle{2 < f(\frac{1}{e}) < 3}$ οπότε $\displaystyle{6 < 3f(\frac{1}{e}) < 9}$

Για $\displaystyle{x = \frac{1}{\pi } \in [0,1]}$ έχουμε $\displaystyle{2 < f(\frac{1}{\pi }) < 3}$ οπότε $\displaystyle{8 <4 f(\frac{1}{\pi }) < 12}$

Για $\displaystyle{x = \frac{1}{2} \in [0,1]}$ έχουμε $\displaystyle{2 < f(\frac{1}{2}) < 3}$ οπότε $\displaystyle{10 < 5f(\frac{1}{2}) < 15}$

Προσθέτουμε κατά μέλη και έχουμε $\displaystyle{24 < 3f(\frac{1}{e}) + 4f(\frac{1}{\pi }) + 5f(\frac{1}{2}) < 36}$ , οπότε $\displaystyle{2 < \frac{{3f(\frac{1}{e}) + 4f(\frac{1}{\pi }) + 5f(\frac{1}{2})}}{{12}} < 3}$

Οπότε από θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει $\displaystyle{x_2 \in (0,1)}$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{f(x_2 ) = \frac{{3f(\frac{1}{e}) + 4f(\frac{1}{\pi }) + 5f(\frac{1}{2})}}{{12}} }$ $\displaystyle{ \Leftrightarrow 12f(x_2 ) = 3f(\frac{1}{e}) + 4f(\frac{1}{\pi }) + 5f(\frac{1}{2})}$

Και επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{[0,1]}$ έχουμε οτι το $\displaystyle{x_2 }$ είναι μοναδικό.

B. Για να έχει νόημα η ανίσωση $\displaystyle{f(f^{ - 1} (\ln x - 4) - 1) > 4}$ πρέπει
$\displaystyle{2 \le \ln x + 4 \le 3 \Leftrightarrow - 2 \le \ln x \le - 1 \Leftrightarrow x \in [e^{ - 2} ,e^{ - 1} ]}$ και $\displaystyle{0 \le f^{ - 1} (\ln x + 4) - 1 \le 1 \Leftrightarrow 1 \le f^{ - 1} (\ln x + 4) \le 2}$

Απο την τελευταία επειδή η $\displaystyle{f^{ - 1} }$ έχει σύνολο τιμών το $\displaystyle{[0,1]}$ , έχουμε οτι $\displaystyle{ f^{ - 1} (\ln x + 4) = 1 \Leftrightarrow f(f^{ - 1} (\ln x + 4)) = f(1) \Leftrightarrow \ln x + 4 = 2 \Leftrightarrow \ln x = - 2 \Leftrightarrow x = e^{ - 2} }$ άρα η ανίσωση ορίζεται μόνο για $\displaystyle{x = e^{ - 2} }$ .Επομένως η ανίσωση είναι αδύνατη.

Γ.i . Έστω $\displaystyle{z = x + yi,x,y \in R}$ έχουμε $\displaystyle{ z = f(x) + f(x)i \Leftrightarrow x + yi = f(x) + f(x)i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = f(x) \\ \kappa \alpha \iota \\ y = f(x) \\ \end{array} \right. }$
Ομως $\displaystyle{2 \le f(x) \le 3}$ , οπότε η γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού $\displaystyle{z}$ είναι το ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{AB}$ με $\displaystyle{A(2,2)}$ και $\displaystyle{B(3,3)}$

Γ.ii.

: 60.png (4.33 KiB) Προβλήθηκε 1921 φορές

$\displaystyle{\Gamma (5,0)}$

$\displaystyle{\left| {z - 5} \right|_{\max } = ({\rm A}\Gamma ) = ({\rm B}\Gamma ) = \sqrt {13} }$

$\displaystyle{\varepsilon }$ : $\displaystyle{x - y = 0}$

$\displaystyle{\left| {z - 5} \right|_{\max } = d(\Gamma ,\varepsilon ) = \frac{{\left| {1 \cdot 5 - 1 \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {1^2 + ( - 1)^2 } }} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}}$
Το έλαχιστο πιάνεται για $\displaystyle{z = \frac{5}{2} + \frac{5}{2}i}$

#54

ΜΙΑ ΜΙΚΡΗ
ΑΣΚΗΣΗ 61
Να βρεθεί ο τύπος της g όταν y > 0

και $g(x)= \displaystyle\lim_{y \rightarrow + \infty}\frac{x}{e^x^y+x^2+1}$

Χρήστος

#55

ΑΣΚΗΣΗ 62
Έστω συνεχής συνάρτηση

στο

για την οποία ισχύουν:
 $f(x)\neq 0$ για κάθε $x\in [1,4]$ .
 f(1) > 0



Να αποδείξετε ότι:
α) f(x) > 0

για κάθε $x\in [1,4]$ ,
β) Η συνάρτηση g(x)=f^2(x)- f(1)f(2)

έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (1,2)

.
γ) Η συνάρτηση

δεν είναι αντιστρέψιμη.

Χρήστος

#56

xr.tsif έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 62
Έστω συνεχής συνάρτηση στο για την οποία ισχύουν:
 $f(x)\neq 0$ για κάθε $x\in [1,4]$ .


Να αποδείξετε ότι:
α) για κάθε $x\in [1,4]$ ,
β) Η συνάρτηση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο .
γ) Η συνάρτηση δεν είναι αντιστρέψιμη.

Χρήστος

ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 62

α) Επειδή $f(x)\ne 0,\,\,\,x\in [1,\,\,4]$ και συνεχής θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο $[1,\,\,4]$

και αφού f(1)>0

θα ισχύει $f(x)>0,\,\,x\in [1,\,4]$

β) Η $g(x)={{f}^{2}}(x)-f(1)f(2)$ είναι συνεχής στο $[1,\,\,2]$ λόγω συνέχειας της

στο $[1,\,4]$ με

$g(1)={{f}^{2}}(1)-f(1)f(2)=f(1)(f(1)-f(2))$ και $g(2)={{f}^{2}}(2)-f(1)f(2)=f(2)(f(2)-f(1))$

επομένως θα είναι και $g(1)g(2)=-f(1)f(2){{(f(2)-f(1))}^{2}}\le 0$ (1)

Αν τα τώρα ισχύει f(1)=f(2)

προφανώς ρίζες της g(x)=0

το 1και το 2

Αν τώρα ισχύει $f(1)\ne f(2)$ από (1) g(1)g(2)<0

και από θεώρημα Bolzano η g(x)=0

έχει ρίζα στο $(1,\,\,2)$

άρα σε κάθε περίπτωση η g(x)=0

έχει ρίζα έστω ${{x}_{1}}$ στο $[1,\,2]$

γ) Τώρα αν θεωρήσουμε την $h(x)={{f}^{2}}(x)-f(3)f(4)$ όμοια με προηγούμενα δείχνουμε ότι υπάρχει σε κάθε περίπτωση

${{x}_{2}}\in [3,\,4]$ ώστε $h({{x}_{2}})=0$ οπότε θα είναι ${{f}^{2}}({{x}_{2}})=f(3)f(4)$ και από (β) ${{f}^{2}}({{x}_{1}})=f(1)f(2)$ και αφού

f(1)f(2)=f(3)f(4)

λόγω υπόθεσης θα ισχύει ${{f}^{2}}({{x}_{1}})={{f}^{2}}({{x}_{2}})\Leftrightarrow f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})$ λόγω του ότι

$f(x)>0,\,\,x\in [1,\,4]$ άρα η

δεν είναι ‘1-1’ αφού για ${{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$ ισχύει $f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})$

...Χρήστο μάλλον ή ύπαρξη ρίζας πρέπει να ισχύει στο κλειστό [1, 2]...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#57

xr.tsif έγραψε:ΜΙΑ ΜΙΚΡΗ
ΑΣΚΗΣΗ 61
Να βρεθεί ο τύπος της g όταν και $g(x)= \displaystyle\lim_{y \rightarrow + \infty}\frac{x}{e^x^y+x^2+1}$

Χρήστος

ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 61

Αν x=0

τότε προφανώς g(x)=0

Αν τώρα $x>0\Leftrightarrow {{e}^{x}}>1$ και $\underset{y\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{({{e}^{x}})}^{y}}=+\infty$ άρα και

$\underset{y\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,({{({{e}^{x}})}^{y}}+{{x}^{2}}+1)=+\infty$ οπότε $\underset{y\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{{{({{e}^{x}})}^{y}}+{{x}^{2}}+1}=0$ και g(x)=0

Αν τώρα $x<0\Leftrightarrow {{e}^{x}}<1$ και $\underset{y\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,({{({{e}^{x}})}^{y}}=0$ άρα $\underset{y\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,({{({{e}^{x}})}^{y}}+{{x}^{2}}+1)={{x}^{2}}+1$ επομένως

$\underset{y\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{{{({{e}^{x}})}^{y}}+{{x}^{2}}+1}=\frac{x}{{{x}^{2}}+1}$ επομένως $g(x)=\frac{x}{{{x}^{2}}+1}$ και τελικά $g(x)=\frac{x}{{{x}^{2}}+1},\,\,\,x\in R$

Φίλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

perpant · #58

ΑΣΚΗΣΗ 63η

α) Να δειχθεί η ισοδυναμία $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o } f\left( x \right) = l \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{h \to 1} f\left( {x_o h} \right) = l}$

β) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:\left( {0, + \infty } \right) \to \Re }$ για την οποία ισχύει $\displaystyle{f\left( {xy} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right)}$ , για κάθε $\displaystyle{x,y \in \Re }$ .

i) Να δείξετε ότι αν η $\displaystyle{f}$ συνεχής στο $\displaystyle{x_o = 1}$ , τότε η $\displaystyle{f}$ συνεχής στο $\displaystyle{\left( {0, + \infty } \right)}$

ii) Να δείξετε ότι αν η $\displaystyle{f}$ συνεχής στο $\displaystyle{x_o = a}$ , όπου $\displaystyle{a \in \left( {0,1} \right) \cup \left( {1, + \infty } \right)}$ , τότε η $\displaystyle{f}$ συνεχής στο $\displaystyle{\left( {0, + \infty } \right)}$

iii) Να δείξετε ότι αν η $\displaystyle{f}$ συνεχής στο $\displaystyle{x_o = 1}$ , και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right)}}{{x - 1}} = 1}$ , τότε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right) - f\left( a \right)}}{{x - a}} = \frac{1}{a}}$ , όπου $\displaystyle{a \in \left( {0,1} \right) \cup \left( {1, + \infty } \right)}$

dennys · #59

ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 63
1)Θέτω $\cfrac{x}{xo}=h$ τότε $x=x_oh \Leftrightarrow h \rightarrow 1$
$lim_{x\to{x_o}}f(x)=l \Leftrightarrow lim_{h\to1}f(x_oh)=l$ αφου έθεσα $\cfrac{x}{xo}=h$
2)Αρχικά για $x=1 \Leftrightarrow f(1)=f(1)+f(1) \Leftrightarrow 2f(1)=0 \Leftrightarrow f(1)=0$
$lim_{x\to{x_o}f(x)$ αν θέσω $\cfrac{x}{x_o}=h \Leftrightarrow lim_{h\to1}f(x_oh)=lim_{h\to1}[f(x_o)+f(h)]=f(x_o)+lim_{h\to1}f(h)=f(x_o)+f(1)=f(x_o)$
γιατί είναι συνεχής στο

αρα $lim_{x\to1}f(x)=f(1)=0$
αρα ειναι συνεχής στο τυχαίο x_o>0

3)Αν ειναι συνεχής στο $a \Leftrightarrow lim_{x\to{a}}f(x)=f(a)$
αρα $f(x)=f(xo{\cfrac{h}{a})=f(xo)+f(\cfrac{h}{a})$ πα'ιρνοντας ορια
${\lim}\limits_{x\to{x_o}}f(x)={\lim}\limits_{h\to{a}}[f(xo)+f(h)+f(\cfrac{1}{a})]=f(xo)+{lim_{h\to{a}}}f(h)+[f(\cfrac{1}{a})]$
$f(x_o)+f(a)+f(\cfrac{1}{a})=f(x_o)+f(a\cfrac{1}{a})=f(x_o )+f(1)=f(x_o)$
4) ${\lim}\limits_{x\to{a}{\cfrac{f(x)-f(a)}{x-a}} if \cfrac{x}{a}=h \Leftrightarrow {\lim}\limits_{h\to1}{\cfrac{f(ah)-f(a)}{ah-a}}$
${\lim}\limits_{h\to1}{\cfrac{f(a)+f(h)-f(a)}{a(h-1)}}={\lim}\limits_{h\to1}{\cfrac{f(h)}{a(h-1)}}=\cfrac{1}{a}$

φιλικά dennys

SoulGR · #60

για την άσκηση 62 στο β ερώτημα όντως φαίνεται η ρίζα να υπάρχει στο [1,2]
στο γ ερώτημα θα μπορούσαμε να πούμε απ ευθείας εφόσον f(1)f(2)= f(3)f(4)

η

δεν είναι ''1-1'' και άρα δεν αντιστρέφεται

ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Μέλη σε σύνδεση