ΟΡΙΟ

nikoszan · #1

Για την συνάρτηση $f:\left( {0,\, + \,\infty } \right) \to \mathbb{R}$ ισχύει $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = l \in \left( {0,\, + \infty } \right)$ .
Να βρεθεί το $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\ln \left( {f\left( x \right)} \right)}}{{\ln x}}$
Ν.Ζ.

#2

nikoszan έγραψε:Για την συνάρτηση $f:\left( {0,\, + \,\infty } \right) \to \mathbb{R}$ ισχύει $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = l \in \left( {0,\, + \infty } \right)$ .
Να βρεθεί το $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\ln \left( {f\left( x \right)} \right)}}{{\ln x}}$
Ν.Ζ.

Ελπίζω εντός ύλης (δεν είμαι απόλυτα βέβαιος για το βήμα (*)

).

Από την υπόθεση για την ύπαρξη του ορίου και από το γεγονός ότι το όριο αυτό είναι θετικός αριθμός έπεται ότι η $\displaystyle{\frac {f(x)}{x}}$ είναι φραγμένη (*)

. Μάλιστα, υπάρχουν θετικοί m, M

με $m \le \frac {f(x)}{x} \le M$ . Παίρνοντας λογαρίθμους είναι $\displaystyle{ \ln m \le f(x)- \ln x \le \ln M$ και άρα για x>e

έχουμε $\frac {\ln m + \ln x} {\ln x} \le \frac {\ln f(x)} {\ln x} \le \frac {\ln M+\ln x} {\ln x}$ . Παίρνοντας όριο καταλήγουμε από ισοσυγκλίνουσες ότι το όριο είναι

.

Φιλικά,

Μιχάλης

#3

...κάτι ποιό σχολικό....

Αν $g(x)=\frac{\ln (f(x))}{\ln x}=\frac{\ln (f(x))-\ln x+\ln x}{\ln x}=\frac{\ln \left( \frac{f(x)}{x} \right)}{\ln x}+1=\frac{1}{\ln x}\ln \left( \frac{f(x)}{x} \right)+1$

Τώρα επειδή $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\ln x}=0$ και $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\ln \left( \frac{f(x)}{x} \right)=\ln \ell$ θα είναι

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)=1$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Bill K · #4

Διαφορετικά $g(x)=\frac {f(x)}{x}$ με $\mathop {\lim}\limits _{x\rightarrow +\infty}g(x)=l$

Τότε xg(x)=f(x)

άρα

$\displaystyle \mathop {\lim}\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln x + \ln g(x)}{\ln x}= \mathop {\lim}\limits_{x\rightarrow +\infty} (1 + \frac{\ln g(x)}{\ln x})=1$

#5

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΟΡΙΟ

ΟΡΙΟ

Re: ΟΡΙΟ

Re: ΟΡΙΟ

Re: ΟΡΙΟ

Re: ΟΡΙΟ

Μέλη σε σύνδεση