Αντίστροφη

Babiskar · #1

Είμαι μαθητής της Γ' Λυκείου και προσπάθησα να λύσω την παρακάτω άσκηση.
Έστω μια συνάρτηση $f:\mathbb R \to \mathbb R$ που ικανοποιεί τη σχέση f(x)-f(y)=f(x-y)

για κάθε $x,y \in \mathbb R$ και η εξίσωση f(x)=0

που έχει μοναδική ρίζα.
Α)Να βρείτε το f(0)

Β)Να δείξετε ότι η

είναι

Γ)Αν η

για κάθε

1)Να δείξετε ότι η

γνησίως αύξουσα
2)Να λύσετε την εξίσωση f(e^x +1)+f(3x-1) < f(e^x -x)

(παρακαλώ να λυθεί με γνωστούς μεθόδους για ένα μαθητή της Γ Λυκείου) Αντιστροφή

#2

Αγαπητέ Babiskar, καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Επειδή η ερώτηση που βάζεις είναι προφανώς "άσκηση στο σπίτι" από κάποια μαθήματα που παρακολουθείς, παίρνω την ευκαιρία να τονίσω ότι στο φόρουμ θέλουμε να σου δώσουμε την μέγιστη βοήθεια.

Είναι αυτονόητο ότι έτοιμες λύσεις είναι ό,τι χειρότερο μπορούμε να σου προσφέρουμε, γι' αυτό το αποφεύγουμε. Στη μεγάλη διάθεση που έχουμε να σε βοηθήσουμε, σε παροτρύνουμε να εργάζεσαι αυτοδύναμα.

Και κάτι ακόμα: Οι ερωτήσεις που βάζει κανείς στο φόρουμ πρέπει να είναι ερωτήσεις που ο ίδιος ξέρει την απάντηση. Εξαιρούνται περιπτώσεις δύσκολων ασκήσεων με την προϋπόθεση ότι ο ερωτών το δηλώνει ρητά.

Στη περίπτωσή σου βάζεις ασκήσεις που δεν φαίνεται να τις επεξεργάστηκες αρκετά αλλά που βρίσκονται παρόμοιες λυμένες σε όλα τα φροντιστηριακά βιβλία. Το φόρουμ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ. Φαντάσου τι θα γινόταν αν ο καθένας έβαζε εδώ ασκήσεις από τα φροντιστηριακά βιβλία που δεν κατάφερε να τις λύσει, αλλά ο ίδιος δεν έδειξε ότι τις δούλεψε "μέχρις εσχάτων".

Γι' αυτό θα σου απαντάμε σε ερωτήσεις μόνο αν μας πείθεις κάθε φορά ότι έκανες πρώτα σοβαρή προεργασία. Με άλλα λόγια, θα μας δείχνεις μέχρι που έφτασες την άσκηση.

Καλό διάβασμα και εύχομαι να κρατήσεις ζωντανό το ενδιαφέρον για τα Μαθηματικά.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Babiskar · #3

Την άσκηση αυτήν δεν είναι άσκηση για το σπίτι από φροντιστήριο. Κάποιος φίλος μου μου την πρότεινε και μαλών είναι από το διαδίκτυο. Επίσης την έχω προσπαθήσει "μέχρι εσχάτων". Αυτό το φόρουμ το ξέρω πολύ καλά εδώ και πολύ καιρό γι' αυτό αν ήθελα να το χρησιμοποιήσω για επίλυση ασκήσεων θα το είχα κάνει νωρίτερα και συχνότερα. Ανάρτησα την άσκηση αυτή γιατί είμαι πολύ περίεργος να δω την λύσει. Ευχαριστώ και συγνώμη που το διευκρίνισα πιο πριν για να μην παρεξηγηθώ.

#4

Babiskar έγραψε:Την άσκηση αυτήν δεν είναι άσκηση για το σπίτι από φροντιστήριο. Κάποιος φίλος μου μου την πρότεινε και μαλών είναι από το διαδίκτυο.
...

Αν θυμάμαι καλά (δεν είμαι στο σπίτι για να το ελέγξω) η άσκηση αυτή βρίσκεται σε "δημοφιλές" βοήθημα των Μαθηματικών Κατεύθυνσης.

Φίλε Μπάμπη (;) όταν προτείνουμε άσκηση, της οποίας δε γνωρίζουμε τη λύση, οφείλουμε να το δηλώνουμε από την αρχή.

Babiskar έγραψε: ...
Επίσης την έχω προσπαθήσει "μέχρι εσχάτων". Αυτό το φόρουμ το ξέρω πολύ καλά εδώ και πολύ καιρό γι' αυτό αν ήθελα να το χρησιμοποιήσω για επίλυση ασκήσεων θα το είχα κάνει νωρίτερα και συχνότερα. Ανάρτησα την άσκηση αυτή γιατί είμαι πολύ περίεργος να δω την λύσει. Ευχαριστώ και συγνώμη που το διευκρίνισα πιο πριν για να μην παρεξηγηθώ.

Ωραία! Πες μας ποια υποερωτήματα αντιμετώπισες επιτυχώς, ώστε να σε βοηθήσουμε σε ό,τι δεν κατάφερες. Π.χ. φαντάζομαι ότι τουλάχιστον το πρώτο ερώτημα δε σου φάνηκε δύσκολο.

Φιλικά, Θάνος.

erxmer · #5

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#6

erxmer έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
1)
Θέτω στην σχέση , οπότε έχω .

Φανερά προκύπτει ότι .

2)
Yποθέτουμε οτι $f(x_1)=f(x_2)\Leftrightarrow f(x_1)-f(x_2)=0\Leftrightarrow f(x_1-x_2)=0$ .

H τελευταία σχέση προκύπτει απο την . Με δεδομένο οτι υπάρχει μοναδική λύση το , λόγω του προηγούμενου ερωτήματος πρέπει $x_1-x_2=0 \Leftrightarrow x_1=x_2$

3)
Αν υποθέσουμε οτι είναι γνήσια φθίνουσα $x_1<x_2\Leftrightarrow f(x_1)>f(x_2)\Leftrightarrow f(x_1)-f(x_2)>0 \Leftrightarrow f(x_1-x_2)>0$ , το οποίο είναι άτοπο καθώς οπότε πρέπει να βάση την υπόθεση

Erxmer, out of curiosity, που λένε και στο χωριό μου, διάβασες τι γράφει ο Μιχάλης παραπάνω ή όχι.

erxmer · #7

Η γραφή της λύσης γινόταν την ώρα ανταλλαγής των μηνυμάτων, γι αυτό μπήκε σε hide. Στο τελευταίο ερώτημα κάτι δεν πάει καλά.

BAGGP93 · #8

Λογικά η σωστή διατύπωση του τελευταίου ερωτήματος είναι η ακόλουθη

Να λύσετε την ανίσωση $\displaystyle{f(e^x+1)-f(3x-1)<f(e^x-x)}$

Babiskar · #9

Αυτό για το "δημοφιλές" βοήθημα δεν μου το είπε ο φίλος μου ούτε το ήξερα .Το πρόβλημά το αντιμετώπισα στο τελευταίο υποερώτημα του τελευταίου ερωτήματος.

#10

BAGGP93 έγραψε:Λογικά η σωστή διατύπωση του τελευταίου ερωτήματος είναι η ακόλουθη

Να λύσετε την ανίσωση $\displaystyle{f(e^x+1)-f(3x-1)<f(e^x-x)}$

Θα μάντευα ότι η σωστή εκδοχή του ερωτήματος είναι η αρχική, με +f(3x-1)

. Γι αυτό και μόνο δίνω την υπόδειξη που ακολουθεί παρακάτω. Αλλιώς θα περίμενα περισσότερα από την λύση σου, πριν δώσω κάποια βοήθεια για να την λύσεις μόνος σου.

Με δεδομένο το +f(3x-1)

, δίνω υπόδειξη: Η ανίσωση γράφεται $\displaystyle{f(3x-1)<f(e^x-x)- f(e^x+1)}$ . Χρησιμοποίησε τώρα την υπόθεση f(X)-f(Y) = f(X-Y)

. Μετά χρησιμοποίησε την υπόθεση ότι η

είναι γνήσια αύξουσα.
Με αυτά δεν πρέπει να έχεις κανένα πρόβλημα για τη λύση.

Μ

gian7 · #11

Babiskar έγραψε:Αυτό για το "δημοφιλές" βοήθημα δεν μου το είπε ο φίλος μου ούτε το ήξερα .Το πρόβλημά το αντιμετώπισα στο τελευταίο υποερώτημα του τελευταίου ερωτήματος.

Νομίζω ότι είναι οκ η εκφώνηση (προφανώς έπρεπε να λέει να λυθεί η ανίσωση.)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

dennys · #12

απο την δοσμένη σχέση έχουμε : $f(e^x+1)-f(e^x-x)<-f(3x-1)\Rightarrow f(1+x)<f(1-3x)\Rightarrow f(x) \nearrow 1+x<1-3x\Rightarrow x<0$

οπου έκανα χρήση οτι απο την αρχική για x=0, -f(y)=f(-y)

και έτσι "πνίξαμε "το μειον.

dennys

#13

dennys έγραψε:απο την δοσμένη σχέση έχουμε : $f(e^x+1)-f(e^x-x)<-f(3x-1)\Rightarrow f(1+x)<f(1-3x)\Rightarrow f(x) \nearrow 1+x<1-3x\Rightarrow x<0$

οπου έκανα χρήση οτι απο την αρχική για και έτσι "πνίξαμε "το μειον.

dennys

Σωστά, μόνο που έχουμε πει ότι Η ΑΛΗΘΙΝΗ ΒΟΗΘΕΙΑ προς τους μαθητές είναι οι υποδείξεις και ΌΧΙ οι λύσεις.

Και στη περίπτωσή μας είχε ευοδώσει η πρακτική αυτή. Για του λόγου το αληθές σημειώνω ότι έλαβα (πριν από το παραπάνω ποστ) προσωπικό μήνυμα από τον (ΚΡΥΒΩ ΤΟ ΟΝΟΜΑ *) με πλήρη λύση. Για λόγους πληρότητας την παραθέτω με κοπή/αντιγραφή

XXX έγραψε:Ναι,τελικά έχετε δίκιο.Από την υπόθεση είναι

$\displaystyle{f(e^x-x)-f(e^x+1)=f\left((e^x-x)-(e^x+1)\right)=f(-x-1)}$

Συνεπώς η ανίσωση ισοδύναμα γράφεται ως εξής

$\displaystyle{f(3x-1)<f(-x-1)\Rightarrow 3x-1<-x-1\Rightarrow 4x<0\Rightarrow x<0}$

Φιλικά,

Μιχάλης

* Έκρυψα το όνομα γιατί δεν πήρα την άδεια του ιδίου να το παραθέσω.

dennys · #14

κ.Λάμπρου πολύ σωστά

Θεώρησα οτι είχε δοθεί η λύση κρυφά ή οχι και έδωσα την απάντηση.Συμφωνω απολυτα στα οσα γράψατε και ετσι βοηθιούνται πραγματικά οι μαθητές .

dennys

Babiskar · #15

Ναι και εγώ αυτό πιστεύω. Οι υποδείξεις είναι καλύτερος και αποτελεσματικότερος τρόπος.

Αντίστροφη

Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Re: Αντίστροφη

Μέλη σε σύνδεση