Όριο

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε: $\displaystyle{\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln x}{\ln \left( \sin x \right)}}$

Μπορούμε εύκολα με l' Hospital. Αλλιώς

$\displaystyle{ \frac{\ln x}{\ln \left( \sin x \right)} = \frac{\ln x}{\ln \left( \frac {\sin x}{x} \right) + \ln x}=\frac{1}{\frac {1}{\ln x}\cdot\ln \left( \frac {\sin x}{x} \right) + 1}\to \frac {1}{0\cdot \ln 1 +1} =1$

hsiodos · #3

Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{ f(x) = \frac{{\ln (\sin x)}}{{\ln x}}\,}$ , προφανώς $\displaystyle{f(x) > 0\,\,\,\forall x \in (0,1)}$

και $\displaystyle{ f(x) = \frac{{\ln (\sin x) - \ln x + \ln x}}{{\ln x}} = \frac{{\ln \left( {\frac{{\sin x}}{x}} \right) + \ln x}}{{\ln x}} = \ln \left( {\frac{{\sin x}}{x}} \right) \cdot \frac{1}{{\ln x}} + 1}$

είναι $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \ln \left( {\frac{{\sin x}}{x}} \right)\,\,\,\,\,\,\mathop = \limits_{\mathop {\lim u}\limits_{x \to 0^ + } = 1}^{u = \,\frac{{\sin x}}{x}} \,\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{u \to 1} \ln u = \ln 1 = 0\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{1}{{\ln x}} = 0\,\,\,\,\alpha \phi o\upsilon \,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \ln x = - \infty }$

έτσι $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \ln \left( {\frac{{\sin x}}{x}} \right) \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{1}{{\ln x}} + 1 = 1}$

οπότε $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{1}{{f(x)}} = 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{{\ln x}}{{\ln (\sin x)}} = 1 }$

Γιώργος

hsiodos · #4

Μιχάλη με "έφαγες" με διαφορά ...απειροστού

Γιώργος

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση