Όριο

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1750
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Τετ Νοέμ 07, 2012 1:04 pm

ΠΕΡΙΤΤΑ
τελευταία επεξεργασία από orestisgotsis σε Κυρ Φεβ 25, 2024 11:05 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18264
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Νοέμ 07, 2012 4:33 pm

orestisgotsis έγραψε:\displaystyle{\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln x}{\ln \left( \sin x \right)}}
Μπορούμε εύκολα με l' Hospital. Αλλιώς

\displaystyle{ \frac{\ln x}{\ln \left( \sin x \right)} = \frac{\ln x}{\ln \left( \frac {\sin x}{x} \right) + \ln x}=\frac{1}{\frac {1}{\ln x}\cdot\ln \left(  \frac {\sin x}{x} \right) + 1}\to \frac {1}{0\cdot \ln 1 +1} =1


hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1236
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Όριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Τετ Νοέμ 07, 2012 4:33 pm

Θεωρούμε την συνάρτηση \displaystyle{ 
f(x) = \frac{{\ln (\sin x)}}{{\ln x}}\,} , προφανώς \displaystyle{f(x) > 0\,\,\,\forall x \in (0,1)}

και \displaystyle{ 
f(x) = \frac{{\ln (\sin x) - \ln x + \ln x}}{{\ln x}} = \frac{{\ln \left( {\frac{{\sin x}}{x}} \right) + \ln x}}{{\ln x}} = \ln \left( {\frac{{\sin x}}{x}} \right) \cdot \frac{1}{{\ln x}} + 1}

είναι \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ +  } \ln \left( {\frac{{\sin x}}{x}} \right)\,\,\,\,\,\,\mathop  = \limits_{\mathop {\lim u}\limits_{x \to 0^ +  }  = 1}^{u = \,\frac{{\sin x}}{x}} \,\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{u \to 1} \ln u = \ln 1 = 0\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ +  } \frac{1}{{\ln x}} = 0\,\,\,\,\alpha \phi o\upsilon \,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ +  } \ln x =  - \infty }

έτσι \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ +  } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ +  } \ln \left( {\frac{{\sin x}}{x}} \right) \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ +  } \frac{1}{{\ln x}} + 1 = 1}

οπότε \displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ +  } \frac{1}{{f(x)}} = 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ +  } \frac{{\ln x}}{{\ln (\sin x)}} = 1 
}

Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1236
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Όριο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Τετ Νοέμ 07, 2012 4:38 pm

Μιχάλη με "έφαγες" με διαφορά ...απειροστού :D

Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης