Σύνολο τιμών

APOSTOLAKIS · #1

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f:R \rightarrow R$ τέτοια ώστε $Z\subseteq f(R)$ .
Να αποδείξετε ότι f(R)=R

.
N. Z. ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ

#2

APOSTOLAKIS έγραψε:Δίνεται η συνεχής συνάρτηση $f:R \rightarrow R$ τέτοια ώστε $Z\subseteq f(R)$ .
Να αποδείξετε ότι .
N. Z. ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ

Αρκεί να δειχθεί ότι $\mathbb{R}\subseteq f(\mathbb{R})$ .

Πράγματι, έστω $b\in \mathbb{R}$ .

Από την υπόθεση υπάρχουν c,d

ακέραιοι ώστε $f(c)=\lfloor b\rfloor$ και $f(d)=\lfloor b\rfloor+1$ , όπου $\lfloor b\rfloor$ συμβολίζει το ακέραιο μέρος του

.

Από το Θεώρημα Ενδιάμεσης Τιμής στο διάστημα με άκρα τα

και

, η

λαμβάνει κάθε τιμή

με $\lfloor b\rfloor\leq y\leq \lfloor b\rfloor+1$ .

Συνεπώς, υπάρχει $a \in \mathbb{R}$ , ώστε f(a)=b

, κι άρα $\mathbb{R}\subseteq f(\mathbb{R})$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

sachstyl · #3

Πολύ ωραία άσκηση! Για κάθε ακέραιο $\displaystyle{k}$ παίρνουμε το διάστημα $\displaystyle{[k,k+1].}$ Από το Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών, επειδή η

είναι συνεχής και παίρνει τις τιμές στα άκρα του διαστήματος, θα παίρνει και όλες τις ενδιάμεσες τιμές του. Επομένως $\displaystyle{[k,k+1] \subseteq f(\mathbb{R})}$ για κάθε $\displaystyle{k\in \mathbb{Z}.}$ Επειδή η αριθμήσιμη ένωση των διαστημάτων αυτών είναι το μικρότερο σύνολο που τα περιέχει, λαμβάνουμε το ζητούμενο, μιας και τετριμμένα έχουμε πως $\displaystyle{f(\mathbb{R}) \subseteq \mathbb{R}}$ και $\displaystyle{\bigcup [k,k+1]=\mathbb{R}}$ (ένωση).

Σύνολο τιμών

Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Re: Σύνολο τιμών

Μέλη σε σύνδεση