Βοήθεια σε υπαρξιακή

kostas232 · #1

Καλημέρα σε όλους.

Παραθέτω την παρακάτω άσκηση και το σκεπτικό μου για τη λύση της. Θα ήθελα κάποια γνώμη για το αν η σκέψη μου είναι σωστή...

Η ΑΣΚΗΣΗ:
Έστω $f,g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ συνεχείς συναρτήσεις τέτοιες ώστε για κάθε $x \in [a,b]$ να υπάρχει $y \in [a,b]$ , με f(x)=g(y)

. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $k \in [a,b]$ , ώστε f(k)=g(k)

.

...πως προσπάθησα να τη λύσω...

Έστω ότι δεν υπάρχει. Τότε θα είναι $f(x)\neq g(x)$ , για κάθε $x \in [a,b]$ . Θεωρούμε:
$h(x)=f(x)-g(x), x\in [a,b]$
Η h είναι συνάρτηση συνεχής (ως διαφορά συνεχών) και δεν μηδενίζεται. Επομένως, η

διατηρεί πρόσημο στο διάστημα [a,b]

.
Έστω ότι είναι $h(x)>0, x\in [a,b]$ . Τότε έχουμε
$f(x)>g(x), x\in [a,b]$ .
Όμως, η f ως συνεχής στο [a,b]

παίρνει σε αυτό μέγιστη τιμή

και ελάχιστη

.Επομένως:
$g(x)<f(x)\leq M \Rightarrow g(x)<M$ .

Αυτό όμως είναι άτοπο, αφού από την υπόθεση για κάθε $x\in [a,b]$ υπάρχει $y\in [a,b]$ με f(x)=g(y)

.

Παρόμοια απορρίπτω και την περίπτωση $h(x)<0, x\in [a,b]$ ...

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Σωστότατη.

kostas232 · #3

Σας ευχαριστω για τη διευκρίνηση!

Βοήθεια σε υπαρξιακή

Βοήθεια σε υπαρξιακή

Re: Βοήθεια σε υπαρξιακή

Re: Βοήθεια σε υπαρξιακή

Μέλη σε σύνδεση