συνεχής

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Με αφορμή το
viewtopic.php?f=52&t=57484

Εστω $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ και $k\geq 2$ φυσικός

Αν για κάθε $c\in \mathbb{R}$ το σύνολο

$\left \{ x: x\in [a,b],f(x)=c \right \}$ έχει

η

στοιχεία

τότε δεν μπορεί η

να είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του [a,b]

dement · #2

Έστω $m \in \{ \min f(x), \max f(x) \}$ τέτοιο ώστε $f(b) \neq m$ . Θεωρούμε $m = \min f(x)$ (ομοίως για την άλλη περίπτωση).

Ορίζουμε γνησίως αύξουσα ακολουθία (a_n), n = 1, ..., k+1

με $a_{k+1} = b$ και f(a_k) = m

για

.

Ορίζουμε επίσης γνησίως αύξουσα ακολουθία (b_n), n = 1, ..., k

με $f(b_n) = \max f \left( [a_n, a_{n+1}] \right)$ . Θέτουμε $\displaystyle y \equiv \frac{m + \min f(b_n)}{2}$ .

Η εξίσωση f(x) = y

, από Bolzano, έχει τουλάχιστον δύο λύσεις σε κάθε διάστημα $(a_n, a_{n+1})$ με n < k

(μία στο

και μία στο $(b_n, a_{n+1})$ ) και τουλάχιστον μία λύση στο (a_k, b)

. Άρα έχει τουλάχιστον 2k-1

λύσεις και $2k-1 \leqslant k \implies k \leqslant 1$ που είναι άτοπο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Καλημέρα Δημήτρη.
Δίνω μια λύση που στην ουσία είναι ίδια με την δική σου αλλιώς διατυπωμένη.
Εστω ότι υπάρχει.

Επειδή έχουμε κλειστό διάστημα θα παίρνει μέγιστη τιμή.

Εστω $a_{1}< a_{2}<.....< a_{k}$ τα σημεία που την παίρνει.

Εχουμε ότι $f(a_{1})=f(a_{2})=.....=f(a_{k})$

Στα διαστήματα $(a_{1},a_{2}),(a_{2},a_{3}),.....(a_{k-1},a_{k})$

η

παίρνει ελάχιστη τιμή τις τιμές $f(z_{1}),f(z_{2}),....,f(z_{k-1})$

Αν πάρουμε

τέτοιο ώστε $f(a_{1})> c,c> f(z_{i}) i=1,2,...,k-1$

τότε η εξίσωση f(x)=c

έχει σε καθένα από τα $(a_{i},a_{i+1})$

τουλάχιστον

λύσεις.

Αρα η εξίσωση f(x)=c

έχει τουλάχιστον 2(k-1)

λύσεις στο [a,b]

Πρέπει $2(k-1)\leq k$ δηλαδή $k\leq 2$

Αν k=2

στην παραπομπή βλέπουμε ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση

Αρα για $k\geq 2$ δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση.

#4

Και μία λύση εκτός φακέλου (με τοπολογικά επιχειρήματα):

Έστω ότι υπάρχει συνάρτηση $\displaystyle{f}$ , συνεχής στο $\displaystyle{[a,b]}$ , η οποία παίρνει κάθε μία τιμή της ακριβώς $\displaystyle{k}$ φορές.

Έστω $\displaystyle{f \left([a,b]\right)=[c,d]}$ , με $\displaystyle{c<d}$ . Τότε το $\displaystyle{[a,b]}$ γράφεται ως ξένη ένωση συνόλων $\displaystyle{A_i, i=1,2,...,k}$ που το κάθε ένα από αυτά είναι αντίστροφη εικόνα

του $\displaystyle{[c,d]}$ μέσω της $\displaystyle{f}$ .

Αν ονομάσουμε $\displaystyle{f_i}$ τον περιορισμό της $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{A_i}$ , τότε η

$\displaystyle{f_i: A_i \to [c,d]}$ είναι (προφανώς) συνεχής, 1-1 και επί.

Κάθε ένα από τα $\displaystyle{A_i}$ είναι συμπαγές (κλειστό και φραγμένο).

Επειδή ο $\displaystyle{A_i}$ είναι συμπαγής και ο $\displaystyle{[c,d]}$ είναι Hausdorff, η $\displaystyle{f_i}$ είναι

ομοιομορφισμός, άρα η $\displaystyle{f_i^{-1}}$ είναι συνεχής, συνεπώς κάθε

$\displaystyle{A_i}$ είναι ένα διάστημα της μορφής $\displaystyle{[a_i,b_i]}$ . Άρα το $\displaystyle{[a,b]}$ γράφεται ως

ξένη ένωση $\displaystyle{k}$ διαστημάτων της μορφής $\displaystyle{[a_i.b_i]}$ , το

οποίο είναι άτοπο (αποδεικνύεται εύκολα).

συνεχής

συνεχής

Re: συνεχής

Re: συνεχής

Re: συνεχής

Μέλη σε σύνδεση