βοηθεια

manos123 · #1

Γεια σας ειμαι νεος στο

και θα ηθελα την βοηθεια σας σε καποιες αποριες που εχω
1) Συναρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ με $f(\mathbb{R})=\mathbb{R}$
και ισχυει $\left | f(x)-f(y) \right |\geq \left | x-y \right | ,\forall x,y\in \mathbb{R}$
εχω αποδειξει οτι η f αντιστρεφεται και οτι ισχυει $\left | f^{-1}(x)-f^{-1}(y)\right |\leq \left \left | x-y \right | ,\forall x,y\in \mathbb{R}$ (1)

και τωρα ζητειται να αποδειξουμε οτι η συναρτηση $g(x)=x+f^{-1}(x),x\in\mathbb{R}$ ειναι γνησιως αυξουσα
Λοιπον η σκεψη μου ειναι αυτη :
Εστω $x_1,x_2 \in\mathbb{R}$ με $x_1<x_2\Rightarrow x_1-x_2<0$
θετω στην (1)

οπου

το

και οπου

το

$\left | f^{-1}(x_1)-f^{-1}(x_2) \right |\leq \left | x_1-x_2 \right | \Leftrightarrow$
$\left | f^{-1}(x_1)-f^{-1}(x_2) \right |\leq x_2-x_1\Leftrightarrow$
$x_1-x_2\leq f^{-1}(x_1)-f^{-1}(x_2)\leq x_2-x_1$
Κρατωντας την δεξια ανισοτητα καταληγουμε $g(x_1)\leq g(x_2)$ το οποιο ωστοσο δεν αποδεικνυει το ζητουμενο .Μηπως η ισοτητα ισχυει μονο για χ=y αρα για ανισες τιμες γινεται γνησια η ανισοτητα?
2) Γνωριζω οτι για να υψωσω μια ανισοτητα σε εναν αρτιο εκθετη ειναι απαραιτητο η γνωση του προσημου της ανισοτητας, οσο για μια ισοτητα οταν και τα δυο μελη ειναι θετικα μπορουμε να υψωσουμε ισοδυναμα ομως οταν δεν γνωριζω το προσημο της ισοτητας και θελω να υψωσω σε αρτιο εκθετη μπορω να το κανω με συνεπαγωγη και να επαληθευσω ωστε να ειναι ισοδυναμη?
Τι ισχυει αν θελω να περασω μετρα σε μια ανισοτητα η σε μια ισοτητα?

#2

Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Θα απαντήσω κατά παρέκκλιση, σεβόμενος το γεγονός ότι είναι το πρώτο σου ποστ. Από εκεί και πέρα ας τονίσω ότι τα σωστά ελληνικά απαιτούν να μπαίνουν τόνοι στις λέξεις. Το ζητούν άλλωστε ρητά και οι κανονισμοί μας (τους διάβασες άραγε;). Επίσης, το σύμβολο του ερωτηματικού στο ελληνικό αλφάβητο είναι το ";" και όχι το "?". Ας μην βιάζουμε την υπέροχη γλώσσα μας.

Επί της ουσίας:

manos123 έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 08, 2019 3:04 pm
και τωρα ζητειται να αποδειξουμε οτι η συναρτηση $g(x)=x+f^{-1}(x),x\in\mathbb{R}$ ειναι γνησιως αυξουσα

Δεν αποδεικνύεται το "γνησίως αύξουσα". Για παράδειγμα η f(x)=-x

(και άρα $f^{-1}(x)=-x$ , ικανοποιεί τις υποθέσεις του προβλήματος αλλά $g(x)=x+f^{-1}(x) = x+(-x)=0$ , που βέβαια δεν είναι γνήσια αύξουσα.

Aleksis2001 · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 08, 2019 6:09 pm
Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Θα απαντήσω κατά παρέκκλιση, σεβόμενος το γεγονός ότι είναι το πρώτο σου ποστ. Από εκεί και πέρα ας τονίσω ότι τα σωστά ελληνικά απαιτούν να μπαίνουν τόνοι στις λέξεις. Το ζητούν άλλωστε ρητά και οι κανονισμοί μας (τους διάβασες άραγε;). Επίσης, το σύμβολο του ερωτηματικού στο ελληνικό αλφάβητο είναι το ";" και όχι το "?". Ας μην βιάζουμε την υπέροχη γλώσσα μας.

Επί της ουσίας:

manos123 έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 08, 2019 3:04 pm
και τωρα ζητειται να αποδειξουμε οτι η συναρτηση $g(x)=x+f^{-1}(x),x\in\mathbb{R}$ ειναι γνησιως αυξουσα

Δεν αποδεικνύεται το "γνησίως αύξουσα". Για παράδειγμα η (και άρα $f^{-1}(x)=-x$ , ικανοποιεί τις υποθέσεις του προβλήματος αλλά $g(x)=x+f^{-1}(x) = χ+(-χ)=0$ , που βέβαια δεν είναι γνήσια αύξουσα.

Δηλαδή είναι λάθος το ερώτημα ?

manos123 · #4

Ειναι λαθος το ερωτημα κυριε μιχαλη ?

#5

manos123 έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 08, 2019 10:54 pm
Ειναι λαθος το ερωτημα κυριε μιχαλη ?

Γράψε με σωστά Ελληνικά και θα σου απαντήσω.

Επαναλαμβάνω, τα σωστά Ελληνικά απαιτούν τονισμό των λέξεων και το σύμβολο του ερωτηματικού είναι ";". Επίσης τα κύρια ονόματα έχουν κεφαλαίο το πρώτο γράμμα.

manos123 · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 09, 2019 12:05 am

manos123 έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 08, 2019 10:54 pm
Ειναι λαθος το ερωτημα κυριε μιχαλη ?
Γράψε με σωστά Ελληνικά και θα σου απαντήσω.

Επαναλαμβάνω, τα σωστά Ελληνικά απαιτούν τονισμό των λέξεων και το σύμβολο του ερωτηματικού είναι ";". Επίσης τα κύρια ονόματα έχουν κεφαλαίο το πρώτο γράμμα.

Συγνώμη ,κύριε Μιχάλη το ερώτημα είναι λάθος;

#7

manos123 έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 09, 2019 11:30 am
το ερώτημα είναι λάθος;

Ναι, είναι λάθος. Συγκεκριμένα, αποδεικνύεται (όπως άλλωστε πολύ σωστά έδειξες) ότι η

είναι αύξουσα. Όμως εκεί σταματάμε, καθώς με αντιπαράδειγμα βλέπουμε ότι η

δεν είναι κατ' ανάγκη γνήσια αύξουσα.

Ας προσθέσω ότι με μικρή παραλλαγή/βελτίωση της υπόθεσης, αποδεικνύεται ότι η

είναι γνήσια αύξουσα. Π.χ. τέτοια είναι η περίπτωση που η υπόθεση γίνει $\left | f(x)-f(y) \right |> \left | x-y \right | ,\forall x,y\in \mathbb{R}$ με $x\ne y$ .

Από που είναι η άσκηση; Σίγουρα στην έδωσαν στην μορφή που την κατέγραψες στο αρχικό σου ποστ;

manos123 · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 09, 2019 1:21 pm

manos123 έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 09, 2019 11:30 am
το ερώτημα είναι λάθος;
Ναι, είναι λάθος. Συγκεκριμένα, αποδεικνύεται (όπως άλλωστε πολύ σωστά έδειξες) ότι η είναι αύξουσα. Όμως εκεί σταματάμε, καθώς με αντιπαράδειγμα βλέπουμε ότι η δεν είναι κατ' ανάγκη γνήσια αύξουσα.

Ας προσθέσω ότι με μικρή παραλλαγή/βελτίωση της υπόθεσης, αποδεικνύεται ότι η είναι γνήσια αύξουσα. Π.χ. τέτοια είναι η περίπτωση που η υπόθεση γίνει $\left | f(x)-f(y) \right |> \left | x-y \right | ,\forall x,y\in \mathbb{R}$ με $x\ne y$ .

Από που είναι η άσκηση; Σίγουρα στην έδωσαν στην μορφή που την κατέγραψες στο αρχικό σου ποστ;

Η άσκηση είναι από ένα φυλλάδιο που μου έδωσε ο κάθηγητής μου και είναι ακριβώς όπως την κατέγραψα,άλλωστε η ισότητα είναι απαραίτητη για να δείξουμε οτι η f είναι 1-1.Θα μπορούσατε να με βοήθησετε με το 2ο ερώτημα μου;

#9

manos123 έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 09, 2019 3:35 pm
... άλλωστε η ισότητα είναι απαραίτητη για να δείξουμε οτι η f είναι 1-1.

Όχι, δεν είναι σωστό αυτό που γράφεις. Το 1-1

βγαίνει και με την παραλλαγή της υπόθεσης, όπως την έγραψα εγώ.

Υπόδειξη: Πήγαινε με αντιθετοαντιστροφή, ξεκινώντας από την υπόθεση $x\ne y$ . Από αυτό (και την δική μου παραλλαγή της υπόθεσης) δείξε ότι θα είναι και $f(x)\ne f(y)$ . Συνέχισε.

manos123 · #10

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 09, 2019 5:30 pm

manos123 έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 09, 2019 3:35 pm
... άλλωστε η ισότητα είναι απαραίτητη για να δείξουμε οτι η f είναι 1-1.
Όχι, δεν είναι σωστό αυτό που γράφεις. Το βγαίνει και με την παραλλαγή της υπόθεσης, όπως την έγραψα εγώ.

Υπόδειξη: Πήγαινε με αντιθετοαντιστροφή, ξεκινώντας από την υπόθεση $x\ne y$ . Από αυτό (και την δική μου παραλλαγή της υπόθεσης) δείξε ότι θα είναι και $f(x)\ne f(y)$ . Συνέχισε.

Kάλημερα κύριε Μιχάλη
Αφου $x\neq y\Leftrightarrow x-y\neq 0\Leftrightarrow \left | x-y \right |\neq 0$
$\frac{\left | f(x)-f(y) \right |}{\left | x-y \right |}>1\Rightarrow$
$\left | \frac{f(x)-f(y)}{x-y} \right |>1>0\Rightarrow$
$\left | \frac{f(x)-f(y)}{x-y} \right |>0\Rightarrow$
$\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\neq 0\Rightarrow f(x)-f(y)\neq 0$
$\Rightarrow f(x)\neq f(y)$

#11

manos123 έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 10, 2019 10:13 am
Αφου $x\neq y\Leftrightarrow x-y\neq 0\Leftrightarrow \left | x-y \right |\neq 0$
...
$\Rightarrow f(x)\neq f(y)$

Σωστά αλλά ας δούμε μία λύση (ουσιαστικά την ίδια) χωρίς τα περιττά. Π.χ. δεν βλέπω τον λόγο γιατί να διαιρέσουμε με το |x-y|

, που σημαίνει $f(x) \ne f(y)$ . Τελειώσαμε, και πολλά λόγια έγραψα (*).

(*) Π.χ. περιττό ως αυτονόητο το "και άρα |f(x)- f(y)|>0

". Μπορούμε να πάμε απευθείας στο "που σημαίνει $f(x) \ne f(y)$ ".

manos123 · #12

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 10, 2019 3:28 pm

manos123 έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 10, 2019 10:13 am
Αφου $x\neq y\Leftrightarrow x-y\neq 0\Leftrightarrow \left | x-y \right |\neq 0$
...
$\Rightarrow f(x)\neq f(y)$

Σωστά αλλά ας δούμε μία λύση (ουσιαστικά την ίδια) χωρίς τα περιττά. Π.χ. δεν βλέπω τον λόγο γιατί να διαιρέσουμε με το . Έχουμε:

Έστω $x\ne y$ . Τότε $\left | f(x)-f(y) \right | > \left | x-y \right | > 0$ , και άρα , που σημαίνει $f(x) \ne f(y)$ . Τελειώσαμε, και πολλά λόγια έγραψα (*).

(*) Π.χ. περιττό ως αυτονόητο το "και άρα ". Μπορούμε να πάμε απευθείας στο "που σημαίνει $f(x) \ne f(y)$ ".

Όντως περιττά, το συνειδητοποίησα όταν το πόσταρα και το κοίταξα οτι έβγαινε πιο γρήγορα με τον τρόπο που δείξατε.Σας ευχάριστω πολύ για τον χρόνο σας και αν μπορέσετε να με βοηθήσετε με το 2ο ζήτημα μου.

#13

manos123 έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 10, 2019 4:31 pm
... και αν μπορέσετε να με βοηθήσετε με το 2ο ζήτημα μου.

Είναι τόσο ασύντακτη η πρόταση που γράφεις ώστε δυσκολεύομαι να την καταλάβω. Φυσικά μαντεύω τι θέλεις να πεις. Όμως, όταν γράφουμε Μαθηματικά πρέπει να είμαστε σαφείς και ακριβολόγοι, οπότε περιμένω καλύτερη διατύπωση πριν απαντήσω.

manos123 · #14

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 10, 2019 8:03 pm

manos123 έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 10, 2019 4:31 pm
... και αν μπορέσετε να με βοηθήσετε με το 2ο ζήτημα μου.
Είναι τόσο ασύντακτη η πρόταση που γράφεις ώστε δυσκολεύομαι να την καταλάβω. Φυσικά μαντεύω τι θέλεις να πεις. Όμως, όταν γράφουμε Μαθηματικά πρέπει να είμαστε σαφείς και ακριβολόγοι, οπότε περιμένω καλύτερη διατύπωση πριν απαντήσω.

2) Γνωριζω οτι για να υψωσω μια ανισοτητα σε εναν αρτιο εκθετη ειναι απαραιτητο η γνωση του προσημου της ανισοτητας, οσο για μια ισοτητα οταν και τα δυο μελη ειναι θετικα μπορουμε να υψωσουμε ισοδυναμα ομως οταν δεν γνωριζω το προσημο της ισοτητας και θελω να υψωσω σε αρτιο εκθετη μπορω να το κανω με συνεπαγωγη και να επαληθευσω ωστε να ειναι ισοδυναμη?
Τι ισχυει αν θελω να περασω μετρα σε μια ανισοτητα η σε μια ισοτητα?
Εννοώ αυτό, πού το έγραψα στο πρώτο μου ποστ

#15

Μάλλον δεν καταλαβαινόμαστε με αποτέλεσμα να γίνομαι κουραστικός στους υπόλοιπους αναγνώστες.

Πρώτον, η "διορθωμένη" πρότασή σου είναι ακριβώς, μα ακριβώς ίδια με την αρχική. Έλεος.

manos123 έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 10, 2019 8:19 pm

2) Γνωριζω οτι για να υψωσω μια ανισοτητα σε εναν αρτιο εκθετη ειναι απαραιτητο η γνωση του προσημου της ανισοτητας, οσο για μια ισοτητα οταν και τα δυο μελη ειναι θετικα μπορουμε να υψωσουμε ισοδυναμα ομως οταν δεν γνωριζω το προσημο της ισοτητας και θελω να υψωσω σε αρτιο εκθετη μπορω να το κανω με συνεπαγωγη και να επαληθευσω ωστε να ειναι ισοδυναμη?
Τι ισχυει αν θελω να περασω μετρα σε μια ανισοτητα η σε μια ισοτητα?
Εννοώ αυτό, πού το έγραψα στο πρώτο μου ποστ

Δεύτερον, θα επαναλάβω κάτι που επεσήμανα νωρίτερα

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 09, 2019 12:05 am

Γράψε με σωστά Ελληνικά και θα σου απαντήσω.

Επαναλαμβάνω, τα σωστά Ελληνικά απαιτούν τονισμό των λέξεων και το σύμβολο του ερωτηματικού είναι ";".

Αν θέλεις απάντηση στα ερωτήματά σου, που με χαρά θα σου την παρέχουμε, πρέπει και εσύ να ανταποκρίνεσαι θετικά στην παρότρυνση που σου δίνουμε για σωστή χρήση της γλώσσας. Αλλιώς κινδυνεύεις να θεωρήσουν κάποιοι ότι κάνεις χαβαλέ.

manos123 · #16

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 10, 2019 11:57 pm
Μάλλον δεν καταλαβαινόμαστε με αποτέλεσμα να γίνομαι κουραστικός στους υπόλοιπους αναγνώστες.

Πρώτον, η "διορθωμένη" πρότασή σου είναι ακριβώς, μα ακριβώς ίδια με την αρχική. Έλεος.

manos123 έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 10, 2019 8:19 pm

2) Γνωριζω οτι για να υψωσω μια ανισοτητα σε εναν αρτιο εκθετη ειναι απαραιτητο η γνωση του προσημου της ανισοτητας, οσο για μια ισοτητα οταν και τα δυο μελη ειναι θετικα μπορουμε να υψωσουμε ισοδυναμα ομως οταν δεν γνωριζω το προσημο της ισοτητας και θελω να υψωσω σε αρτιο εκθετη μπορω να το κανω με συνεπαγωγη και να επαληθευσω ωστε να ειναι ισοδυναμη?
Τι ισχυει αν θελω να περασω μετρα σε μια ανισοτητα η σε μια ισοτητα?
Εννοώ αυτό, πού το έγραψα στο πρώτο μου ποστ
Δεύτερον, θα επαναλάβω κάτι που επεσήμανα νωρίτερα

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 09, 2019 12:05 am

Γράψε με σωστά Ελληνικά και θα σου απαντήσω.

Επαναλαμβάνω, τα σωστά Ελληνικά απαιτούν τονισμό των λέξεων και το σύμβολο του ερωτηματικού είναι ";".
Αν θέλεις απάντηση στα ερωτήματά σου, που με χαρά θα σου την παρέχουμε, πρέπει και εσύ να ανταποκρίνεσαι θετικά στην παρότρυνση που σου δίνουμε για σωστή χρήση της γλώσσας. Αλλιώς κινδυνεύεις να θεωρήσουν κάποιοι ότι κάνεις χαβαλέ.

Σύγνωμη, αλλά δεν το κατάλαβα και απλώς το αντέγραψα όπως το είχα γράψει στο πρώτο μου πόστ
Γνώριζω οτι για να υψώσω μια ανισότητα σε εναν άρτιο εκθέτη είναι απαραίτητη η γνώση του πρόσημου της ανισότητας,οσο για μια ισότητα για να υψώσω σε άρτιο εκθέτη ισοδύναμα πρέπει τα δύο μέλη να είναι θέτικα .Όμως αν δεν γνωρίζω το πρόσημο της ισότητας και θέλω να υψώσω σε άρτιο εκθέτη μπόρω να το κάνω με συνεπαγωγή και μετά να επαληθεύσω την τιμή που βρήκα ώστε να ειναι ισοδύναμη : Τι ισχύει αν θελω να πέρασω μέτρα σε μια ανισότητα ή σε μια ισότητα:

manos123 · #17

Όποιος μπορέσει και βρεί χρονο ας με βοήθησει παρακαλώ

Nikos002 · #18

manos123 έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 11, 2019 11:30 am

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 10, 2019 11:57 pm
Μάλλον δεν καταλαβαινόμαστε με αποτέλεσμα να γίνομαι κουραστικός στους υπόλοιπους αναγνώστες.

Πρώτον, η "διορθωμένη" πρότασή σου είναι ακριβώς, μα ακριβώς ίδια με την αρχική. Έλεος.

manos123 έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 10, 2019 8:19 pm

2) Γνωριζω οτι για να υψωσω μια ανισοτητα σε εναν αρτιο εκθετη ειναι απαραιτητο η γνωση του προσημου της ανισοτητας, οσο για μια ισοτητα οταν και τα δυο μελη ειναι θετικα μπορουμε να υψωσουμε ισοδυναμα ομως οταν δεν γνωριζω το προσημο της ισοτητας και θελω να υψωσω σε αρτιο εκθετη μπορω να το κανω με συνεπαγωγη και να επαληθευσω ωστε να ειναι ισοδυναμη?
Τι ισχυει αν θελω να περασω μετρα σε μια ανισοτητα η σε μια ισοτητα?
Εννοώ αυτό, πού το έγραψα στο πρώτο μου ποστ
Δεύτερον, θα επαναλάβω κάτι που επεσήμανα νωρίτερα

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 09, 2019 12:05 am

Γράψε με σωστά Ελληνικά και θα σου απαντήσω.

Επαναλαμβάνω, τα σωστά Ελληνικά απαιτούν τονισμό των λέξεων και το σύμβολο του ερωτηματικού είναι ";".
Αν θέλεις απάντηση στα ερωτήματά σου, που με χαρά θα σου την παρέχουμε, πρέπει και εσύ να ανταποκρίνεσαι θετικά στην παρότρυνση που σου δίνουμε για σωστή χρήση της γλώσσας. Αλλιώς κινδυνεύεις να θεωρήσουν κάποιοι ότι κάνεις χαβαλέ.
Σύγνωμη, αλλά δεν το κατάλαβα και απλώς το αντέγραψα όπως το είχα γράψει στο πρώτο μου πόστ
Γνώριζω οτι για να υψώσω μια ανισότητα σε εναν άρτιο εκθέτη είναι απαραίτητη η γνώση του πρόσημου της ανισότητας,οσο για μια ισότητα για να υψώσω σε άρτιο εκθέτη ισοδύναμα πρέπει τα δύο μέλη να είναι θέτικα .Όμως αν δεν γνωρίζω το πρόσημο της ισότητας και θέλω να υψώσω σε άρτιο εκθέτη μπόρω να το κάνω με συνεπαγωγή και μετά να επαληθεύσω την τιμή που βρήκα ώστε να ειναι ισοδύναμη ; Τι ισχύει αν θελω να πέρασω μέτρα σε μια ανισότητα ή σε μια ισότητα;

βοηθεια

βοηθεια

Re: βοηθεια

Re: βοηθεια

Re: βοηθεια

Re: βοηθεια

Re: βοηθεια

Re: βοηθεια

Re: βοηθεια

Re: βοηθεια

Re: βοηθεια

Re: βοηθεια

Re: βοηθεια

Re: βοηθεια

Re: βοηθεια

Re: βοηθεια

Re: βοηθεια

Re: βοηθεια

Re: βοηθεια

Μέλη σε σύνδεση