Μελέτη Ορίου ΙΙΙ

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Δίνεται συνάρτηση $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ με την ιδιότητα

$\lim\limits_{x\to 8}\dfrac{f(x)^5-13f(x)+9}{f(x)^6+f(x)^2+1}=-1$

Να αποδειχθεί ότι υπάρχει το όριο $\lim\limits_{x\to 8}f(x)$

#2

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 27, 2025 6:02 pm
Δίνεται συνάρτηση $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ με την ιδιότητα

$\lim\limits_{x\to 8}\dfrac{f(x)^5-13f(x)+9}{f(x)^6+f(x)^2+1}=-1$

Να αποδειχθεί ότι υπάρχει το όριο $\lim\limits_{x\to 8}f(x)$

Ξεχάστηκε η ωραία αυτή άσκηση. Το μυστικό της είναι ότι η συνάρτηση $\dfrac {t^5-13t+9}{t^6+t^2+1}$ έχει ολικό ελάχιστο ίσο με

το οποίο το λαμβάνει (μόνο) αν t=1

. Με αυτά κατά νου, έχουμε:

Έστω $x\to 8$ . Τότε κοντά στο x=8

τα

πρέπει να είναι φραγμένα διότι αλλιώς για μία ακολουθία $x_n \to 8$ θα ήταν χωρίς βλάβη $f(x_n) \to +\infty$ (όμοια για την περίπτωση $-\infty$ ). Αλλά τότε, αφού ο παρονομαστής του δοθέντος κλάσματος είναι πιο υψηλόβαθμος από τον αριθμητή, το κλάσμα θα $\to 0$ . Άτοπο αφού $\to -1$ .

Η υπόθεση γράφεται

$\lim\limits_{x\to 8}\dfrac{f(x)^5-13f(x)+9 +(f(x)^6+f(x)^2+1)}{f(x)^6+f(x)^2+1}=0$ .

Πολλαπλάσιάζοντας επί τον (φραγμένο) παρονομαστή, έπεται

$\lim\limits_{x\to 8} [f(x)^5-13f(x)+9 +(f(x)^6+f(x)^2+1)]=0$ , ισοδύναμα

$\lim\limits_{x\to 8} [(f(x)-1)^2(f(x)^4 + 3f(x)^3+ 5f(x)^2+7f(x) +10)=0$

Όμως ο δεύτερος παράγοντας, από την $t^4+3t^3+5t^2+7t+10 = \left ( t^2+\dfrac {7}{3}\right ) \left (t + \dfrac {3}{2} \right ) ^2 + \dfrac {5}{2} t^2+ \dfrac {19}{4}\ge \dfrac {19}{4}$ , είναι κάτω φραγμένος. Άρα

$0\le \dfrac {19}{4} \left (f(x)-1\right )^2\le (f(x)-1)^2(f(x)^4 + 3f(x)^3+ 5f(x)^2+7f(x) +10)\to 0$

Από ισοσυγκλίνουσες έχουμε $\dfrac {19}{4} \left (f(x)-1\right )^2\to 0$ .

Έπεται ότι το όριο $\lim\limits_{x\to 8}f(x)$ υπάρχει και είναι $\boxed {\lim\limits_{x\to 8}f(x)=1}$

(Αργότερα θα γράψω μία σύντομη και απλή λύση με χρήση ακολουθιών, η οποία όμως είναι εκτός ύλης.)

#3

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 27, 2025 6:02 pm
Δίνεται συνάρτηση $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ με την ιδιότητα

$\lim\limits_{x\to 8}\dfrac{f(x)^5-13f(x)+9}{f(x)^6+f(x)^2+1}=-1$

Να αποδειχθεί ότι υπάρχει το όριο $\lim\limits_{x\to 8}f(x)$

.
Μία λύση εκτός ύλης, αλλά στο ίδιο μήκος κύματος. Μόνο το ντύσιμο αλλάζει: Έστω (x_n)

ακολουθία με $\lim x_n=8$ . Θέλουμε να δείξουμε ότι η y_n= f(x_n)

συγκλίνει. Πρώτα απ' όλα η (y_n)

είναι φραγμένη γιατί αλλιώς θα υπήρχε χωρίς βλάβη υπακολουθία της $y_{n_k}$ με $y_{n_k} \to +\infty$ (όμοια για $-\infty$ ). Αλλά τότε

$-1= \lim\limits_{k\to \infty }\dfrac{ y_{n_k}^5- 13y_{n_k} +9}{y_{n_k} ^6 +y_{n_k}^2+1}=0$ . Άτοπο.

Αν η (φραγμένη) (y_n)

δεν συγκλίνει στο

, τότε υπάρχει $\epsilon >0$ και υπακολουθία $(y_{n_k})$ με $|1- y_{n_k}| \ge \epsilon$ (*) για κάθε n_k

. Aπό Bolzano-Weierstrass υπάρχει υπακολουθία της υπακολουθίας (ας την ονομάσουμε (y_m)

) που συγκλίνει σε κάποιο

. Από την (*) αναγκαστικά $c\ne 1$ . Έπεται

$\lim\limits_{m\to \infty }\dfrac{ y_{m}^5- 13y_{m} +9}{y_{m} ^6 +y_{m}^2+1}=\dfrac {c^5-13c+1}{c^6+c^2+1}$ .

Από την μοναδικότητα του ορίου έχουμε $\dfrac {c^5-13c+1}{c^6+c^2+1}=-1$ , ισοδύναμα c^6+c^5+c^2-13c+10=0

, δηλαδή

.

O δεύτερος παράγοντας είναι γνήσια θετικός (μία απόδειξη υπάρχει στο προηγούμενο ποστ). Άρα c=1

, άτοπο. Τελικά $\boxed {\lim y_n=1}$

Μελέτη Ορίου ΙΙΙ

Μελέτη Ορίου ΙΙΙ

Re: Μελέτη Ορίου ΙΙΙ

Re: Μελέτη Ορίου ΙΙΙ

Μέλη σε σύνδεση