Πριν τις παραγώγους

KARKAR · #1

Βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης : $\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-x+1}{x^2+x+1}$

Γιώργος Απόκης · #2

Kλασική όμορφη άσκηση στα σύνολα τιμών!

Έστω $\displaystyle{y=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1},x\in \mathbb R}$ . Ψάχνουμε τις τιμές του y για τις οποίες η εξίσωση αυτή έχει λύση ως προς x.

Kάνοντας τις πράξεις καταλήγουμε στην $\displaystyle{(y-1)x^2+(y+1)x+y-1=0}$ . Θα πρέπει να ισχύει $\Delta \geq 0\Leftrightarrow$

$\displaystyle{\Leftrightarrow ... \Leftrightarrow (3y-1)(-y+3) \geq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \leq y \leq 3}$ .

Άρα, $\displaystyle{f_{min}=\frac{1}{3}}$ και $\displaystyle{f_{max}=3}$ (προκύπτουν για x=1

και

αντίστοιχα)

#3

Παρατηρούμε ότι $D_{f}=R$
Θέτουμε y=f(x)

και έχουμε $y=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\Leftrightarrow (y-1)x^2+(y+1)x+y-1=0$ (1)
* Αν y = 1 τότε έχουμε $2x=0\Leftrightarrow x=0\in D_{f}$ Άρα η τιμή $y=1\in R_{f}$
* Αν $y\neq 1$ τότε η (1) αληθεύει για κάθε $x\in R$ όταν $\Delta \geq 0\Leftrightarrow (y+1)^2-4(y-1)^2\geq 0$

και μετά όμοια όπως ο Γιώργος

Χρήστος

Γιώργος Απόκης · #4

xr.tsif έγραψε:Παρατηρούμε ότι $D_{f}=R$
Θέτουμε και έχουμε $y=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\Leftrightarrow (y-1)x^2+(y+1)x+y-1=0$ (1)
* Αν y = 1 τότε έχουμε $2x=0\Leftrightarrow x=0\in D_{f}$ Άρα η τιμή $y=1\in R_{f}$
* Αν $y\neq 1$ τότε η (1) αληθεύει για κάθε $x\in R$ όταν $\Delta \geq 0\Leftrightarrow (y+1)^2-4(y-1)^2\geq 0$

και μετά όμοια όπως ο Γιώργος

Χρήστος

Πολύ σωστά! Δεν πήρα την περίπτωση y=1 ...

Πριν τις παραγώγους

Πριν τις παραγώγους

Re: Πριν τις παραγώγους

Re: Πριν τις παραγώγους

Re: Πριν τις παραγώγους

Μέλη σε σύνδεση