Πριν τις παραγώγους

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10951
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Πριν τις παραγώγους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιούλ 01, 2011 12:25 am

Βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης : \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-x+1}{x^2+x+1}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Πριν τις παραγώγους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Παρ Ιούλ 01, 2011 12:34 am

Kλασική όμορφη άσκηση στα σύνολα τιμών!

Έστω \displaystyle{y=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1},x\in \mathbb R}. Ψάχνουμε τις τιμές του y για τις οποίες η εξίσωση αυτή έχει λύση ως προς x.

Kάνοντας τις πράξεις καταλήγουμε στην \displaystyle{(y-1)x^2+(y+1)x+y-1=0}. Θα πρέπει να ισχύει \Delta \geq 0\Leftrightarrow

\displaystyle{\Leftrightarrow ... \Leftrightarrow (3y-1)(-y+3) \geq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \leq y \leq 3}.

Άρα, \displaystyle{f_{min}=\frac{1}{3}} και \displaystyle{f_{max}=3} (προκύπτουν για x=1 και x=-1 αντίστοιχα)


Γιώργος
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1958
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Πριν τις παραγώγους

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Παρ Ιούλ 01, 2011 12:38 am

Παρατηρούμε ότι D_{f}=R
Θέτουμε y=f(x) και έχουμε y=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\Leftrightarrow (y-1)x^2+(y+1)x+y-1=0 (1)
* Αν y = 1 τότε έχουμε 2x=0\Leftrightarrow x=0\in D_{f} Άρα η τιμή y=1\in R_{f}
* Αν y\neq 1 τότε η (1) αληθεύει για κάθε x\in R όταν \Delta \geq 0\Leftrightarrow (y+1)^2-4(y-1)^2\geq 0

και μετά όμοια όπως ο Γιώργος


Χρήστος


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Πριν τις παραγώγους

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Παρ Ιούλ 01, 2011 12:40 am

xr.tsif έγραψε:Παρατηρούμε ότι D_{f}=R
Θέτουμε y=f(x) και έχουμε y=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\Leftrightarrow (y-1)x^2+(y+1)x+y-1=0 (1)
* Αν y = 1 τότε έχουμε 2x=0\Leftrightarrow x=0\in D_{f} Άρα η τιμή y=1\in R_{f}
* Αν y\neq 1 τότε η (1) αληθεύει για κάθε x\in R όταν \Delta \geq 0\Leftrightarrow (y+1)^2-4(y-1)^2\geq 0

και μετά όμοια όπως ο Γιώργος


Χρήστος
Πολύ σωστά! Δεν πήρα την περίπτωση y=1 ...


Γιώργος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης