Συναρτησιακή εξίσωση (λε)

#1

α) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f\left( x \right)f\left( {yf\left( x \right)} \right) = f\left( {y + f\left( x \right)} \right) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}_{>0}.$

β) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f\left( x \right)f\left( {yf\left( x \right)} \right) = f\left( {y + f\left( x \right)} \right) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

dimitris.ligonis · #2

Για την πρώτη:

Έστω (1)

η αρχική σχέση
Υποθέτουμε ότι $\exists x_0 \in (0,+\infty) : f(x_0)>1$ .
Για $(y\rightarrow \frac{f(x_0)}{f(x_0)-1} , x\rightarrow x_0),(1) \Rightarrow f(x_0)=1.$ Άτοπο!
Άρα $f(x)\leq 1, \forall x \in(0,+\infty)$

Έστω x_1>1

τότε θα είναι x_1-f(x_1)>0.

Για $(y \rightarrow x_1-f(x_1) , x\rightarrow x_1),(1) \Rightarrow f((x_1 -f(x_1))f(x_1))=1$ επομένως,
για $(x \rightarrow (x_1 -f(x_1))f(x_1)),(1) \Rightarrow f(y)=f(y+1), \forall y \in (0,+\infty)$
Οπότε με βάση την παραπάνω, f(f(x)+1)=f(f(x))

οποτε για $(y\rightarrow 1),(1)\Rightarrow f(x)=1, \forall x \in (0,+\infty)$ που επαληθεύει την αρχική.

#3

Πολύ ωραία Δημήτρη!

Ας δούμε και το β):

socrates έγραψε:β) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f\left( x \right)f\left( {yf\left( x \right)} \right) = f\left( {y + f\left( x \right)} \right) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#4

socrates έγραψε:β) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f\left( x \right)f\left( {yf\left( x \right)} \right) = f\left( {y + f\left( x \right)} \right) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Λύση:

Αν υπάρχει $a\in \Bbb{R}$ με f(a)=0,

τότε για

βρίσκουμε

για κάθε

που είναι λύση.

Αν $f(x)\ne 0$ για κάθε $χ\in \Bbb{R}$ τότε από τις σχέσεις $\displaystyle{f\left( x \right)f\left( {f(y)f\left( x \right)} \right) = f\left( {f(y) + f\left( x \right)} \right)=f\left( y \right)f\left( {f(x)f\left( y \right)} \right) }$
παίρνουμε f(x)=f(y)

για κάθε

δηλαδή η

είναι σταθερή. Επειδή $f(x)\ne 0$ για κάθε

είναι

για κάθε

Τελικά, οι μόνες λύσεις είναι $f\equiv 0$ και $f\equiv 1.$

#5

Πηγή:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=470980

Συναρτησιακή εξίσωση (λε)

Συναρτησιακή εξίσωση (λε)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (λε)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (λε)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (λε)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (λε)

Μέλη σε σύνδεση