όριο συνάρτησης

lefsk · #1

Γεια σας! Σε μια άσκηση Σ-Λ έχω το παρακάτω ερώτημα:
-Αν υπάρχει το $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow a}f(x) }$ αλλά όχι το $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow a}g(x) }$ , τότε δεν υπάρχει και το $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow a} (f(x) + g(x)) }$

Εγώ νομίζω ότι πρέπει να προσθέσει και κάτι ακόμα στην πρόταση αυτή ο καθηγητής. Να εξηγήσω γιατί.
Θέτω $\displaystyle{ h(x) = f(x) + g(x) }$ άρα $\displaystyle{ g(x) = h(x) - f(x) }$ και έστω ότι το όριο της $\displaystyle{ h(x) }$ υπάρχει. Τότε, αφού υπάρχει το όριο της $\displaystyle{ f(x) }$ θα υπάρχει και το όριο της $\displaystyle{ g(x) }$ . ΑΤΟΠΟ, άρα Σωστό.

Όμως, αν π.χ. πάρω το $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x} }$ και το $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^2} }$ , τότε ενώ το πρώτο όριο δεν υπάρχει και το δεύτερο υπάρχει, το όριο του αθροίσματος υπάρχει.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

lefsk έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 23, 2017 1:38 pm
Γεια σας! Σε μια άσκηση Σ-Λ έχω το παρακάτω ερώτημα:
-Αν υπάρχει το $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow a}f(x) }$ αλλά όχι το $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow a}g(x) }$ , τότε δεν υπάρχει και το $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow a} (f(x) + g(x)) }$

Εγώ νομίζω ότι πρέπει να προσθέσει και κάτι ακόμα στην πρόταση αυτή ο καθηγητής. Να εξηγήσω γιατί.
Θέτω $\displaystyle{ h(x) = f(x) + g(x) }$ άρα $\displaystyle{ g(x) = h(x) - f(x) }$ και έστω ότι το όριο της $\displaystyle{ h(x) }$ υπάρχει. Τότε, αφού υπάρχει το όριο της $\displaystyle{ f(x) }$ θα υπάρχει και το όριο της $\displaystyle{ g(x) }$ . ΑΤΟΠΟ, άρα Σωστό.

Όμως, αν π.χ. πάρω το $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x} }$ και το $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^2} }$ , τότε ενώ το πρώτο όριο δεν υπάρχει και το δεύτερο υπάρχει, το όριο του αθροίσματος υπάρχει.

Όταν λέμε ότι το όριο υπάρχει υπονοούμε ότι είναι πραγματικός.

Σε πολλά βιβλία θα δεις να γράφεται.

Το $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^{2}}$ δεν υπάρχει αλλά

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^{2}}=+\infty$ .

lefsk · #3

Αα κατάλαβα, ευχαριστώ πολύ!

#4

lefsk έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 23, 2017 1:38 pm
Όμως, αν π.χ. πάρω το $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x} }$ και το $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^2} }$ , τότε ενώ το πρώτο όριο δεν υπάρχει και το δεύτερο υπάρχει, το όριο του αθροίσματος υπάρχει.

lefsk,

Ενδιαφέρον το παράδειγμα, και απάντησε επαρκέστατα το Σταύρος παραπάνω.

Αν θέλεις ένα διαφορετικό όπου η μία συνάρτηση είναι φραγμένη, πάρε ως άσκηση το εξής:

$f(x) = x, \, g(x)=\sin x$ για $x\to \infty$

Παραλλαγή: $f(x) = \frac {1}{x}, \, g(x)=\sin \frac {1}{x}$ για $x\to 0$

Περιμένουμε την λύση σου.

lefsk · #5

Ουσιαστικά το πρόβλημα ήταν να καταλάβω ότι η λέξη "υπάρχει" αναφέρεται σε πραγματικό αριθμό και όχι στο άπειρο.
Τώρα για αυτό που ανεβάσατε έχουμε
$\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{1}{x} = +\infty }$ και $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0^{-}} \frac{1}{x} = -\infty }$
ενώ η $\displaystyle{ sin\frac{1}{x} }$ είναι φραγμένη, οπότε τελικά το άθροισμά τους έχει όριο $\displaystyle{ +\infty }$ στο $\displaystyle{ 0^{+} }$ και $\displaystyle{ -\infty }$ στο $\displaystyle{ 0^{-} }$

#6

lefsk έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 24, 2017 1:33 am
Ουσιαστικά το πρόβλημα ήταν να καταλάβω ότι η λέξη "υπάρχει" αναφέρεται σε πραγματικό αριθμό και όχι στο άπειρο.
Τώρα για αυτό που ανεβάσατε έχουμε
$\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{1}{x} = +\infty }$ και $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 0^{-}} \frac{1}{x} = -\infty }$
ενώ η $\displaystyle{ sin\frac{1}{x} }$ είναι φραγμένη, οπότε τελικά το άθροισμά τους έχει όριο $\displaystyle{ +\infty }$ στο $\displaystyle{ 0^{+} }$ και $\displaystyle{ -\infty }$ στο $\displaystyle{ 0^{-} }$

lefsk,

έχασες την ουσία για την οποία σου έβαλε ο Καθηγητής σου την άσκηση.

Κάνω άλλη μία προσπάθεια. Ας μείνω στην πρώτη ερώτηση που έθεσα (στην δεύτερη είχα τυπογραφικό καθώς εννοούσα $x\to 0+$ αλλά σε αυτό το σκέλος απάντησες ορθότατα. Μένει όμως η ουσία).

Δείξε ότι για $f(x) = x, \, g(x)=\sin x$ και για $x\to \infty$ τα όρια των f(x)+g(x)

και

είναι "συν άπειρο" (απλό και ουσιαστικά το έκανες) αλλά της g(x)

δεν υπάρχει (αυτό ξέχασες)

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #7

Καλημέρα.
Στο σχολικό βιβλίο, η αναφορά στην ύπαρξη ενός ορίου , δεν σημαίνει ότι το όριο είναι πραγματικός αριθμός.

#8

NIZ έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 24, 2017 1:39 pm
Στο σχολικό βιβλίο, η αναφορά στην ύπαρξη ενός ορίου , δεν σημαίνει ότι το όριο είναι πραγματικός αριθμός.

Σωστά.

Όσον αφορά το αρχικό ερώτημα

lefsk έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 23, 2017 1:38 pm
Γεια σας! Σε μια άσκηση Σ-Λ έχω το παρακάτω ερώτημα:
-Αν υπάρχει το $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow a}f(x) }$ αλλά όχι το $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow a}g(x) }$ , τότε δεν υπάρχει και το $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow a} (f(x) + g(x)) }$

καλό είναι να ξεκαθαρίσουμε στους μαθητές μας ότι η απάντηση είναι

α) ΣΩΣΤΟ αν το όριο που εξετάζουμε είναι πραγματικός αριθμός,

β) ΛΑΘΟΣ, γενικά, αν το όριο που εξετάζουμε είναι το "συν ή πλην άπειρο".

lefsk · #9

Σας ευχαριστώ όλους για την πολύτιμη βοήθειά σας!

#10

lefsk έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 26, 2017 12:47 pm
Σας ευχαριστώ όλους για την πολύτιμη βοήθειά σας!

Διάβασε πιο προσεκτικά τις τελευταίες δύο γραμμές τέσσερα ποστ πιο πάνω (στο σημείο που είναι κοκκινισμένο).

Σε αυτές τις δύο γραμμές που φαίνεται να αγνόησες, η βοήθεια είναι ακόμη πιο πολύτιμη από την βοήθεια
για την οποία μας ευχαριστείς. Αρκεί να το κατανοήσεις.

Εμείς θα περιμένουμε την λύση σου, πάντα με γνώμονα το συμφέρον σου.

lefsk · #11

Για το $\displaystyle{ lim_{x\rightarrow \infty } sinx }$ δε ξέρουμε την τιμή του αλλά ξέρουμε ότι θα είναι κάπου ανάμεσα στο $\displaystyle{ -1 }$ και $\displaystyle{ +1 }$ οπότε αφού το $\displaystyle{ lim_{x\rightarrow \infty } f(x) = \infty }$ , τότε θα στέλνει και το άθροισμα των συναρτήσεων στο άπειρο.
Έχω καταλάβει αυτά που θέλετε να μου πείτε απλά στην διατύπωση δεν είμαι πολύ καλός! Ευχαριστώ όμως που επιμένετε, με βοηθάτε πολύ!

nikos_el · #12

lefsk έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 26, 2017 2:10 pm
Για το $\displaystyle{ lim_{x\rightarrow \infty } sinx }$ δε ξέρουμε την τιμή του αλλά ξέρουμε ότι θα είναι κάπου ανάμεσα στο $\displaystyle{ -1 }$ και $\displaystyle{ +1 }$ οπότε αφού το $\displaystyle{ lim_{x\rightarrow \infty } f(x) = \infty }$ , τότε θα στέλνει και το άθροισμα των συναρτήσεων στο άπειρο.
Έχω καταλάβει αυτά που θέλετε να μου πείτε απλά στην διατύπωση δεν είμαι πολύ καλός! Ευχαριστώ όμως που επιμένετε, με βοηθάτε πολύ!

Το όριο $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\sin x}$ δεν υπάρχει.

lefsk · #13

Δεν υπάρχει, συμφωνώ

#14

lefsk έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 26, 2017 2:10 pm
Για το $\displaystyle{ lim_{x\rightarrow \infty } sinx }$ δε ξέρουμε την τιμή του αλλά ξέρουμε ότι θα είναι κάπου ανάμεσα στο $\displaystyle{ -1 }$ και $\displaystyle{ +1 }$ οπότε αφού το $\displaystyle{ lim_{x\rightarrow \infty } f(x) = \infty }$ , τότε θα στέλνει και το άθροισμα των συναρτήσεων στο άπειρο.

Φοβάμαι ότι δεν έχεις καταλάβει με ακρίβεια το ζητούμενο. Κάνω άλλη μια προσπάθεια αν και ήδη την έκανε ο nikos_el παραπάνω!

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 24, 2017 10:40 am
Δείξε ότι για $f(x) = x, \, g(x)=\sin x$ και για $x\to \infty$ τα όρια των και είναι "συν άπειρο" (απλό και ουσιαστικά το έκανες) αλλά της δεν υπάρχει (αυτό ξέχασες)

Με άλλα λόγια, δείξε με ακρίβεια (να το δούμε, να το διαβάσουμε, όχι απλά κατά δήλωση) ότι δεν υπάρχει το όριο $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\sin x}$

Κάτι ακόμα. Το σημείο που κοκκίνισα στην αρχή του παρόντος ποστ, θα το δεχόμουν ως απάντηση μαθητού. Αν όμως είσαι φοιτητής Μαθηματικού ή παρεμφερούς Τμήματος, δεν θα το δεχόμουν με τίποτα σε διαγώνισμα. Θέλω να πω ότι, σε βαθμολόγιση γραπτού στο Πανεπιστήμιο (επαναλαμβάνω, αν είσαι φοιτητής), το θέμα θα έπαιρνε ας πούμε μία μονάδα, αλλά η απάντησή σου δεν πιστεύω ότι θα την κέρδιζε αυτή την μονάδα.

lefsk · #15

Θα μπορούσα να το πω ως εξής:
$\displaystyle{ f(x) = sinx , D(f)=\mathbb{R} }$
Ψάχνω το $\displaystyle{ lim _{x\rightarrow +\infty } f(x) }$
Θεωρώ $\displaystyle{ x_{1}= 2n\pi }$ , $\displaystyle{x_{2} = 2n\pi + \frac{\pi}{2} }$ , $\displaystyle{ n=0,1,2,3,4,... }$ .
Καθώς το $\displaystyle{ n }$ αυξάνεται στους φυσικούς αριθμούς, οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{ x_{1}, x_{2} }$ πάνε σε οποιονδήποτε μεγάλο θετικό πραγματικό θέλουμε, άρα
$\displaystyle{ x_{1}\rightarrow +\infty }$
$\displaystyle{ x_{2}\rightarrow +\infty }$ . Όμως:

$\displaystyle{ sin x_{1} = sin 2n\pi = 0 }$ ενώ $\displaystyle{ sin x_{2}= sin( {2n\pi + \frac{\pi}{2} )= 1 }$

Συνεπώς το όριο δεν υπάρχει!
(Λογικά αυτό θέλατε από την αρχή

)

όριο συνάρτησης

όριο συνάρτησης

Re: όριο συνάρτησης

Re: όριο συνάρτησης

Re: όριο συνάρτησης

Re: όριο συνάρτησης

Re: όριο συνάρτησης

Re: όριο συνάρτησης

Re: όριο συνάρτησης

Re: όριο συνάρτησης

Re: όριο συνάρτησης

Re: όριο συνάρτησης

Re: όριο συνάρτησης

Re: όριο συνάρτησης

Re: όριο συνάρτησης

Re: όριο συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση