Μια... Συναρτησιακή

Panos35 · #1

Έστω $f:R\rightarrow R$ μια μη σταθερή συνάρτηση με την ιδιότητα:
f(x+y)=af(x)+bf(y)

, για κάθε $x,y\in R$
Να αποδείξετε ότι:
α) a=b=1, f(0)=0

β) άπειρα σημεία της γραφικής παράστασης της f είναι συνευθειακά

#2

Panos35 έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 11, 2020 3:06 pm
Έστω $f:R\rightarrow R$ μια μη σταθερή συνάρτηση με την ιδιότητα:
, για κάθε $x,y\in R$
Να αποδείξετε ότι:
α)
β) άπειρα σημεία της γραφικής παράστασης της f είναι συνευθειακά

Είναι

, άρα

. Επιλέγοντας x,y

έτσι ώστε $f(x)\ne f(y)$ (που υπάρχουν διότι η

είναι μη σταθερή), έπεται a=b

.

Επίσης f(x)=f(x+0)=af(x)+af(0)

, άρα

για κάθε

. Έπεται

γιατί αλλιώς f(x) = af(0)/(1-a)=

σταθερό. Η αρχική τώρα δίνει f(0)=f(0)+f(0)

, οπότε

.

Τέλος $f(2^n)=f(2^{n-1}+2^{n-1})= 2f(2^{n-1})=...=2^nf(1)$ . Συνεπώς τα σημεία (2^n,f(2^n))

βρίσκονται στην ευθεία y=f(1)x

, που απαντά στο δεύτερο ερώτημα.

Υπόψη ότι δείξαμε f(x+y)=f(x)+f(y)

, που είναι η καλομελετημένη συναρτησιακή εξίσωση του Cauchy.

#3

Πολλά λόγια έγραφα. Λίγο πιο σύντομα:

f(x)=f(x+0)=af(x)+bf(0)

, άρα

γιατί αλλιώς f(x)= bf(0)/(1-a)=

σταθερό. Όμοια b=1

. Τέλος από την f(0)=f(0)+f(0)

, έχουμε

. Και λοιπά.

panagiotis iliopoulos · #4

Θα ήθελα αν μου επιτρέπετε να επεκτείνω την εκφώνηση της άσκησης:

γ) Αν η συνάρτηση

είναι συνεχής σε ένα σημείο $x_{1}\epsilon \mathbb{R}$ να αποδειχθεί ότι η

είναι συνεχής σε όλο το

$\mathbb{R}$ .

δ) Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο $x_{2}\epsilon \mathbb{R}$ να αποδειχθεί ότι είναι παραγωγίσιμη σε όλο το

$\mathbb{R}$ .

#5

panagiotis iliopoulos έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 12, 2020 11:38 am
Θα ήθελα αν μου επιτρέπετε να επεκτείνω την εκφώνηση της άσκησης:

γ) Αν η συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο $x_{1}\epsilon \mathbb{R}$ να αποδειχθεί ότι η είναι συνεχής σε όλο το

$\mathbb{R}$ .

δ) Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο $x_{2}\epsilon \mathbb{R}$ να αποδειχθεί ότι είναι παραγωγίσιμη σε όλο το

$\mathbb{R}$ .

Έστω ότι είναι συνεχής στο

. Για να δείξουμε ότι είναι συνεχής στο

παρατηρούμε ότι αν $\lim x=b$ τότε $\lim (x-b+a)=a$ , άρα

$\displaystyle{\lim _{x\to b}f(x)=\lim _{x\to b}(f(x-b+a) +f(b-a))= \lim _{x-b+a\to a}(f(x-b+a) +f(b-a))= f(a)+f(b-a)=f(b)}$ .

Με το ίδιο τρόπο εργαζόμαστε για την παράγωγο αρχίζοντας από το πηλίκο διαφορών.

Μια... Συναρτησιακή

Μια... Συναρτησιακή

Re: Μια... Συναρτησιακή

Re: Μια... Συναρτησιακή

Re: Μια... Συναρτησιακή

Re: Μια... Συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση