Περιοδική και ύπαρξη

Tolaso J Kos · #1

Η συνάρτηση

είναι συνεχής στο σύνολο των πραγματικών αριθμών και τέτοια ώστε

$\displaystyle{f(x) + f(x+2) =0 \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \in \mathbb{R}}$

Να δειχθεί ότι:

(α) η

είναι περιοδική.

(β) υπάρχουν άπειροι $x_0 \in \mathbb{R}$ τέτοιοι ώστε f(x_0) = f(x_0+2)

.

stranger · #2

Η άσκηση είναι πολύ απλή.
Για το (α) έχουμε f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+4))=f(x+4)

. Άρα η

είναι περιοδική.
Από υπόθεση έχουμε f(x_0)=f(x_0+2)

αν και μόνο αν f(x_0)=0

.
Άρα αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχουν άπειρα x_0

ώστε

.
Για να το δείξουμε αυτό αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει x_0

ώστε

αφού η

είναι περιοδική.
Εδώ χρησιμοποιούμε τη συνέχεια. Αν η

δεν καμία ρίζα τότε f(x)>0

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ η f(x)<0

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ το οποίο είναι άτοπο αφού τα f(0)

και

είναι ετερόσημα και το συμπέρασμα έπεται.

Μάρκος Βασίλης · #3

Για το πρώτο έχουμε, για αυθαίρετο $x\in\mathbb{R}$ :

$\displaystyle{f(x)=-f(x+2)=-(-f((x+2)+2))\f(x+4),}$

άρα η

είναι περιοδική με μία περίοδο να είναι

.

Τώρα, θεωρούμε την g(x)=f(x)-f(x+2)

, $x\in\mathbb{R}$ . Η

είναι συνεχής και g(0)=f(0)-f(2)

ενώ:

$\displaystyle{g(2)=f(2)-f(4)=f(2)-f(0),}$

άρα $g(0)g(2)=-(f(0)-f(2))^2\le0$ . Αν ισχύει το ίσο τότε η

έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο [0,2]

ενώ αν δεν ισχύει το ίσο τότε η

έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (0,2)

(θ. Bolzano). Σε κάθε περίπτωση, η

έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο [0,2]

. Από την περιοδικότητα της

έπεται το ζητούμενο.

edit: Γράφαμε παράλληλα με τον stranger, το αφήνω για τον κόπο.

Περιοδική και ύπαρξη

Περιοδική και ύπαρξη

Re: Περιοδική και ύπαρξη

Re: Περιοδική και ύπαρξη

Μέλη σε σύνδεση