Έχει λύση!

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\varphi$ συνεχής συνάρτηση στο $\mathbb{R}$ τέτοια ώστε $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\varphi(x)}{x^{1913}} = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{\varphi(x)}{x^{1913}} = 0 }$ . Να δειχθεί ότι η εξίσωση $\varphi(x) + x^{1913} =0$ έχει τουλάχιστον μία λύση.

Christos.N · #2

Ας είναι $h(x)=\varphi(x)+x^{1913},x\in\mathbb{R}$ και ας υποθέσουμε ότι $h(x)\neq0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

Τότε η

ως συνεχής συνάρτηση θα διατηρεί πρόσημο στο πεδίο ορισμού της.

Αν h(x)<0

για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

$lim_{x \rightarrow +\infty}h(x)=lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{h(x)x^{1919}}{x^{1919}}=lim_{x \rightarrow +\infty} (\frac{\varphi(x)}{x^{1913}}+1)x^{1913} =+\infty$

δηλαδή υπάρχει μεγάλος θετικός αριθμός x_0

όπου

άτοπο.

Αν h(x)>0

για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

$lim_{x \rightarrow -\infty}h(x)=lim_{x \rightarrow -\infty}\frac{h(x)x^{1919}}{x^{1919}}=lim_{x \rightarrow -\infty} (\frac{\varphi(x)}{x^{1913}}+1)x^{1913} =-\infty$

δηλαδή υπάρχει μικρός αρνητικός αριθμός x_0

όπου

άτοπο.

άρα η

δεν διατηρεί το πρόσημο της, δηλαδή υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα, που σημαίνει ότι η εξίσωση $\varphi(x)+x^{1913}=0$ έχει μία τουλάχιστον λύση.

Έχει λύση!

Έχει λύση!

Re: Έχει λύση!

Μέλη σε σύνδεση