Αμβλυγώνιο τρίγωνο

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f(x) = \sin x \, , \; \; x \in [0, 2\pi]$ . Αν $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ και $\Gamma$ μη συνευθειακά σημεία της $\mathcal{C}_f$ τότε να δειχθεί ότι το τρίγωνο $\mathrm{AB} \Gamma$ είναι αμβλυγώνιο.

Al.Koutsouridis · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 07, 2021 4:52 pm
Έστω $f(x) = \sin x \, , \; \; x \in [0, 2\pi]$ . Αν $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ και $\Gamma$ μη συνευθειακά σημεία της $\mathcal{C}_f$ τότε να δειχθεί ότι το τρίγωνο $\mathrm{AB} \Gamma$ είναι αμβλυγώνιο.

Έστω $A(x_{a},y_{a}),B(x_{b},y_{b}),C(x_{c},y_{c})$ οι κορυφές του τριγώνου στην γραφική παράσταση με αύξουσα τεταγμένη ( $x_{a} < x_{b} < x_{c}$ ). Θα δείξουμε ότι η γωνία

του τριγώνου ABC

είναι αμβλεία.

Θεωρούμε την παράσταση της μορφής $\dfrac{x-y}{\sin x -\sin y}$ που εκφράζει την κλίση του τμήματος που ορίζουν τα σημεία $(x, \sin x)$ και $(y, \sin y)$ ( x < y

). Παρατηρούμε ότι ο αριθμητής είναι πάντα αρνητικός. Θεωρούμε δυο περιπτώσεις:

1) $\sin y > \sin x$ , τότε θα ισχύει $\dfrac{x-y}{\sin x -\sin y} < 1$ . Πράγματι, αρκεί να δείξουμε ότι $x-y < \sin x -\sin y$ ή ισοδύναμα $x-\sin x < y-\sin y$ .

Θεωρούμε την συνάρτηση $g(x)=x-\sin x$ , παρατηρούμε ότι αυτή είναι γνησίως άυξουσα, άρα g(x) < g(y)

για

. Που μας δίνει την ζητούμενη ανισώση.

2) $\sin y < \sin x$ , τότε $\dfrac{x-y}{\sin x -\sin y} < -1$ . Αποδεικνύεται όπως παραπάνω.

Επόμένως, αν

η κατακόρυφη ευθεία στο σημείο

, το καθένα από τα τμήματα AB, BC

σχηματίζουν με την

γωνία μεγαλύτερη των 45^0

(σε κάθε περίπτωση). Δίνοντας στο σύνολο $\angle ABC > 90^0$ .

Αμβλυγώνιο τρίγωνο

Αμβλυγώνιο τρίγωνο

Re: Αμβλυγώνιο τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση