Σημεία μηδενισμού

KARKAR · #1

Βρείτε τα σημεία μηδενισμού της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2x-1}}-\dfrac{2}{x^3+1}$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 23, 2022 10:14 am
Βρείτε τα σημεία μηδενισμού της συνάρτησης : $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2x-1}}-\dfrac{2}{x^3+1}$

Η

δίνει $\dfrac{1}{\sqrt[3]{2x-1}} = \dfrac{2}{x^3+1}$ , ισοδύναμα $\dfrac{x^3+1} {2}= \sqrt[3]{2x-1}$ . Αν πω g(x)

το αριστερό μέλος, η προηγούμενη γράφεται $g(x) = g^{-1}(x)$ (άμεσο), ισοδύναμα x=g(g(x))

.

Eπειδή η

είναι γνήσια αύξουσα τότε, ως γνωστόν, η προηγούμενη ισοδυναμεί με την x=g(x)

(η κατεύθυνση $\Leftarrow$ άμεση και για την $\Rightarrow$ πάμε με άτοπο αρχίζοντας από την: έστω x > g(x)

)

Θέλουμε λοιπόν $x= \dfrac{x^3+1} {2}$ , ισοδύναμα x^3-2x+1=0

ή αλλιώς

. Και λοιπά

KARKAR · #3

Οι ρίζες της τελευταίας , είναι οι : $-\phi , \dfrac{1}{\phi} , 1$ . Το ερώτημα είναι αν η $-\phi$ είναι δεκτή ...

Για την $\dfrac{1}{\phi}$ δεν τίθεται θέμα , αφού : $\dfrac{1}{\phi}>\dfrac{1}{2}$ .

abgd · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 24, 2022 7:03 am
Οι ρίζες της τελευταίας , είναι οι : $-\phi , \dfrac{1}{\phi} , 1$ . Το ερώτημα είναι αν η $-\phi$ είναι δεκτή ...

Για την $\dfrac{1}{\phi}$ δεν τίθεται θέμα , αφού : $\dfrac{1}{\phi}>\dfrac{1}{2}$ .

Στην ωραία λύση που δίνει ο κ. Λάμπρου πρέπει να προσθέσουμε ότι η εξίσωση f(x)=0

είναι ισοδύναμη με την $g(x)=g^{-1}(x)$ , εφόσον $x\geq \frac{1}{2}$ . Το πεδίο ορισμού της

είναι το $\left(\frac{1}{2},+\infty \right)$ .

Η εξίσωση βέβαια $g(x)=g^{-1}(x)$ έχει τρεις λύσεις: $-\phi , \dfrac{1}{\phi} , 1$

Είναι $g(x)=\frac{x^3+1}{2}, \ \ x \in \mathbb{R}$ και

$g^{-1}(x)=\left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{2x-1}, \ \ x\geq \frac{1}{2}& \\ -\sqrt[3]{-2x+1}, \ \ x< \frac{1}{2}& \end{matrix}\right.$

#5

abgd έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 24, 2022 9:24 am
Είναι $g(x)=\frac{x^3+1}{2}, \ \ x \in \mathbb{R}$ και

$g^{-1}(x)=\left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{2x-1}, \ \ x\geq \frac{1}{2}& \\ -\sqrt[3]{-2x+1}, \ \ x< \frac{1}{2}& \end{matrix}\right.$

Έχεις απόλυτο δίκιο. Είχα ξεχάσει ότι στην δική μας σχολική πρακτική χρησιμοποιούμε το σύμβολο $\sqrt [3]a$ μόνο όταν η υπόρριζη ποσότητα είναι μη αρνητική.

Ακολούθησα την επικρατέστερη στο εξωτερικό, και στις Ολυμπιάδες, πρακτική να δεχόμαστε τον παραπάνω συμβολισμό και για a<0

. Ο ίδιος τον θεωρώ καλύτερο, παρά τις δυσκολίες που φέρνει σε πρωτόπειρους μαθητές. Άλλωστε στα παλιά Σχολικά Μαθηματικά, η πρακτική ήταν αυτή ακριβώς. Δηλαδή επιτρεπόταν για παράδειγμα να γράφουμε $\sqrt [3]{-8} = -2$ . Το θέμα το έχουμε συζητήσει εκτενώς στο φόρουμ και την δική μου γνώμη την είπα π.χ.

εδώ

Συνοψίζοντας, με την σχολική πρακτική στην χώρα μας, και σε άλλες αλλά κατά μειοψηφία, η σωστή αντιμετώπιση είναι ακριβώς αυτή που επισημαίνει ο abgd. Στον υπόλοιπο κόσμο, η λύση μου είναι εντάξει.

Σημεία μηδενισμού

Σημεία μηδενισμού

Re: Σημεία μηδενισμού

Re: Σημεία μηδενισμού

Re: Σημεία μηδενισμού

Re: Σημεία μηδενισμού

Μέλη σε σύνδεση