Τοπικό ακρότατο σε κλειστό άκρο

[liolios19]

Στο βιβλίο της κατεύθυνσης Γ λυκείου λέει (σελ 259) ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο , όταν υπάρχει δ θετικός ώστε:

Με αυτό τον ορισμό σε ένα κλειστό άκρο α του πεδίου ορισμού θα παρουσιάζει τοπικό μέγιστο (ή ελάχιστο) αν είναι αύξουσα (ή φθίνουσα) ή σταθερή σε περιοχή με κλειστό άκρο το α.
Το ερώτημα που έχω είναι ένα αντιπαράδειγμα στο οποίο μια συνάρτηση ορίζεται σε διάστημα κλειστό στο ένα τουλάχιστον άκρο, είναι συνεχής σε αυτό και δεν παρουσιάζει ακρότατο σε αυτό.
Σκέφθηκα την:
,
αλλά το wolframalpha δίνει ελάχιστο στο 0. Ας μου απαντήσει κάποιος αν το αντιπαράδειγμα είναι σωστό (με τον ορισμό του βιλίου) ή αν υπάρχει άλλο αντιπαράδειγμα

[polysot]

Το θέμα το έχουμε συζητήσει ξανά στο , αλλά δε θυμάμαι που...
Η συνάρτηση που δίνεις όντως δεν έχει τοπικό ακρότατο στο 0.
Μία απόδειξη αυτού είναι να βρεις δύο μηδενικές ακολουθίες που να παίρνουν τιμές θετικές παντού η μία και αρνητικές παντού η άλλη, όσο κοντά θέλεις στο 0...

[Μπάμπης Στεργίου]

...........................Σκέφθηκα την:
,
αλλά το wolframalpha δίνει ελάχιστο στο 0. Ας μου απαντήσει κάποιος αν το αντιπαράδειγμα είναι σωστό (με τον ορισμό του βιλίου) ή αν υπάρχει άλλο αντιπαράδειγμα

Χαράματα ακόμα, αλλά νομίζω ότι το παράδειγμα που πήρες είναι καλό για το .
Κάποιος πρόσφατα πρότεινε μια διεύθυνση για τη χάραξη καμπυλών. Αν τη βρείτε , γράψτε το σύνδεσμο. Τον έχω αποθηκεύσει στο σχολείο , όχι όμως στο σπίτι , για να τον χρησιμοποιήσω αυτή τη στιγμή.

Στο http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... 281%2Fx%29 , όπου έβαλα την x * sin (1/x) φαίνεται καθαρά ότι στο [0,1] δεν υπάρχει ακρότατο στο 0 , αλλά αυτό αποδεικνύεται και θεωρητικά με ακολουθίες, αφού η συνάρτηση παίρνει και αρνητικές τιμές όσο κοντά στο 0 και να πλησιάσουμε.

Καλημέρα - Μπάμπης

[chris_gatos]

Πίεσε εδώ, μπορεί να σ'ενδιαφέρει.