απορία μονοτονίας

Alphjarethmetic · #1

Έστω ότι έχουμε μία συνάρτηση f(x)

ορισμένη παραγωγίσιμη και συνεχής σε ενα διάστημα (a,b)

και στα σημεία k,l,m

που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της παρουσιάζει τοπικά ακρότατα τοπικά μέγιστα στα

και

και τοπικό ελάχιστο στο

, θα μπορούσαμε να πούμε σύμφωνα με τον πίνακα μονοτονίας ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στα (a,k)

και

η ερώτηση είναι αν η διατύπωση ᾽᾽είναι γνησίως αύξουσα στην ένωση των $(a,k)\cup (l,m)$ ´᾽ είναι σωστή; προσέχτε δεν κάνουμε έλεγχο μονοτονίας στην ένωση παρά μόνο ως διατύπωση του συμπεράσματος

#2

Νομίζω ότι το συνημμένο σχήμα απαντά.

Ζητώ συγγνώμη για την ποιότητα, αφού το έκανα με το χέρι.

KARKAR · #3

: Μονοτονία.png (12.94 KiB) Προβλήθηκε 550 φορές

Θα υποθέσω ότι το ερώτημα αφορά στην περίπτωση του σχήματος . Σύμφωνα με το σχολικό η σωστή απάντηση είναι :

Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα (a,k]

και $[\ell,m]$ και γνησίως φθίνουσα στα $[k,\ell],[m,b)$ .

Δεν βλέπω λόγο να γράψει κανείς την ένωση των διαστημάτων . Αλλά αν το γράψει πάλι , νομίζω , δεν υπάρχει

πρόβλημα *. Προσοχή όμως , στο που τα διαστήματα είναι κλειστά ή ανοικτά !

Με μια προσεκτικότερη θεώρηση του θέματος , νομίζω ότι η ένωση μη γειτονικών διαστημάτων , μόνο προβλήματα

δημιουργεί (και συνήθως σοβαρά , όπως τονίζεται στις παρακάτω αναρτήσεις ) , άρα πρέπει να αποφεύγεται .

Alphjarethmetic · #4

ναι ακριβώς τέτοιο είναι το παράδειγμα και γι αυτό μίλησα και για συνάρτηση η οποία έχει ήδη μελετηθεί και για χάρην της συντομίας να γραφτει έτσι. ευχαριστώ πολυ.

Γιώργος Απόκης · #5

Alphjarethmetic έγραψε: "είναι γνησίως αύξουσα στην ένωση των $(a,k)\cup (l,m)$ " είναι σωστή; προσέχτε δεν κάνουμε έλεγχο μονοτονίας στην ένωση παρά μόνο ως διατύπωση του συμπεράσματος

Η ένωση στην περίπτωση αυτή δεν είναι σωστό να χρησιμοποείται γιατί η συνάρτηση είναι μεν γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα αλλά όχι απαραίτητα

και στην ένωση. Δεν ικανοποείται ο ορισμός της γνησίως αύξουσας στην ένωση.

#6

Alphjarethmetic έγραψε:Έστω ότι έχουμε μία συνάρτηση ορισμένη παραγωγίσιμη και συνεχής σε ενα διάστημα και στα σημεία που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της παρουσιάζει τοπικά ακρότατα τοπικά μέγιστα στα και και τοπικό ελάχιστο στο , θα μπορούσαμε να πούμε σύμφωνα με τον πίνακα μονοτονίας ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στα και
η ερώτηση είναι αν η διατύπωση ᾽᾽είναι γνησίως αύξουσα στην ένωση των $(a,k)\cup (l,m)$ ´᾽ είναι σωστή; προσέχτε δεν κάνουμε έλεγχο μονοτονίας στην ένωση παρά μόνο ως διατύπωση του συμπεράσματος

Τα διαστήματα με την ίδια μονοτονία , ενδείκνυται να χωρίζονται με κόμμα.

Για αυτό προτείνω η μονοτονία να γράφεται ως εξής :

- Στο $\left( \alpha ,\beta \right]$ η συνάρτηση είναι γν αύξουσα.
- Στο $\left[ \beta ,\gamma \right]$ είναι γνησίως φθίνουσα.
- Στο $\left[ \gamma ,\delta \right]$ είναι γνησίως αύξουσα κλπ

Δεν είναι επίσης λάθος να γράψουμε ότι στα διαστήματα $\left( \alpha ,\beta \right]$ , $\left[ \gamma ,\delta \right]$ η συνάρτηση είναι γν.αύξουσα.

Το να βάλουμε όμως το πρώτο διάστημα μαζί με το τρίτο με ένωση, δεν είναι καλή επιλογή και τις περισσότερες φορές είναι λάθος !

Μπάμπης
(βλέπω ότι απάντηση συγχρόνως ο Γιώργος, το αφήνω όμως για το χρόνο, κι ας είναι το ίδιο)

Γιώργος Απόκης · #7

Συμφωνώ με το Μπάμπη και ολοκληρώνω τη σκέψη μου :

Αν η συνάρτηση ήταν γνησίως αύξουσα στην ένωση θα έπρεπε για οποιαδήποτε $\displaystyle{x,y}$ της ένωσης να ισχύει : $\displaystyle{x<y\Rightarrow f(x)<f(y)}$

πράγμα που δεν ισχύει (σχήμα)

απορία μονοτονίας

απορία μονοτονίας

Re: απορία μονοτονίας

Re: απορία μονοτονίας

Re: απορία μονοτονίας

Re: απορία μονοτονίας

Re: απορία μονοτονίας

Re: απορία μονοτονίας

Μέλη σε σύνδεση