Εύρεση ορίου

niksotirop · #1

Παρακαλώ μια βοήθεια. Να βρεθεί το όριο:

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ x\left( {{e}^{\frac{1}{x}}}-{{e}^{\frac{1}{x+1}}} \right) \right]$

Με χρήση όλων των γνωστών μεθόδων ύλης Γ λυκείου

#2

Αν

τότε το όριο γράφεται

$\displaystyle{\frac{e^y-1}{y}+\frac{1-e^{\frac{y}{y+1}}}{\frac{y}{y+1}}\frac{1}{y+1}...}$

#3

niksotirop έγραψε:Παρακαλώ μια βοήθεια. Να βρεθεί το όριο:

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ x\left( {{e}^{\frac{1}{x}}}-{{e}^{\frac{1}{x+1}}} \right) \right]$

Με χρήση όλων των γνωστών μεθόδων ύλης Γ λυκείου

Μμμ, καλύτερα να θέσουμε $\frac {1}{x}=u\to 0$ και να εκφράσουμε τα πάντα ως προς

. Η συνέχεια η άσκηση πάει τελείως ήρεμα με τον κανόνα de L'Hospital ,

εκτός κι αν μέσα στη βιασύνη έκανα κάποιο αριθμητικό λάθος.

Όμως και κατευθείαν, βάζοντας το

στον παρονομαστή ως κλάσμα και με χρήση του κανόνα όλα κυλάνε κανονικά, αρκεί μετά τον κανόνα να

διασπάσουμε το κλάσμα σε δύο κλάσματα και να κάνουμε το σύνθετο απλό στον δεύτερο όρο.

Μπ

Τωρα βλεπω οτι εγραφα μαζι με το Θαναση.Το αφηνω μονο για να μην το σβησω-δεν μπορω.

#4

Δες και κάτι τέτοιο: $x(e^{\frac{1}{x}}-e^{\frac{1}{x+1}})=x\left( \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)e^{\xi (x)}=\frac{1}{x+1}e^{\xi (x)}\rightarrow 0\cdot e^0=0$

APOSTOLAKIS · #5

Έχουμε:
$\lim_{\propto }x(e^{\frac{1}{x}}-1-e^{\frac{1}{x+1}}+1)$ =
= $\lim_{\propto }\left(\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{\frac{1}{x}}-\frac{e^{\frac{1}{x+1}}-1}{\frac{1}{x}} \right)$ =
= $\lim_{\propto }\left(\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{\frac{1}{x}}-\frac{e^{\frac{1}{x+1}}-1}{\frac{1}{x+1}}\frac{\frac{1}{x+1}}{\frac{1}{x}} \right)$ = 0

N. Z. ΑΠΟΣΤΟΛΑΚΗΣ

alexandrosvets · #6

niksotirop έγραψε:Παρακαλώ μια βοήθεια. Να βρεθεί το όριο:

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ x\left( {{e}^{\frac{1}{x}}}-{{e}^{\frac{1}{x+1}}} \right) \right]$

Με χρήση όλων των γνωστών μεθόδων ύλης Γ λυκείου

Βγάζουμε κοινό παράγοντα το ${e}^{\frac{1}{x+1}$ και έχουμε:

$\lim_{x\rightarrow +\infty}[x{e}^{\frac{1}{x+1}}({e}^{\frac{1}{(x+1)x}}-1)]\leftrightarrow$

$\lim_{x\rightarrow +\infty}[\frac{{e}^{\frac{1}{x+1}}}{(x+1)}(\frac{{e}^{\frac{1}{(x+1)x}}-1}{\frac{1}{x(x+1)}}})]$ .

Το όριο $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{{e}^{\frac{1}{(x+1)x}}-1}{\frac{1}{x(x+1)}}=1$ ,το οποίο προκύπτει θέτοντας όπου $\frac{1}{x(x+1)}=y$ και από τον ορισμό της παραγώγου της e^x

για

Και το όριο $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{{e}^{\frac{1}{x+1}}}{(x+1)}=0$ πολύ εύκολα.Άρα το αρχικό κάνει 0.

Φιλικά,
Αλέξανδρος.

Θωμάς Ποδηματάς · #7

alexandrosvets έγραψε:
niksotirop έγραψε:Παρακαλώ μια βοήθεια. Να βρεθεί το όριο:

$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ x\left( {{e}^{\frac{1}{x}}}-{{e}^{\frac{1}{x+1}}} \right) \right]$

Με χρήση όλων των γνωστών μεθόδων ύλης Γ λυκείου
Βγάζουμε κοινό παράγοντα το ${e}^{\frac{1}{x+1}$ και έχουμε:

$\lim_{x\rightarrow +\infty}[x{e}^{\frac{1}{x+1}}({e}^{\frac{1}{(x+1)x}}-1)]\leftrightarrow$

$\lim_{x\rightarrow +\infty}[\frac{{e}^{\frac{1}{x+1}}}{(x+1)}(\frac{{e}^{\frac{1}{(x+1)x}}-1}{\frac{1}{x(x+1)}}})]$ .

Το όριο $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{{e}^{\frac{1}{(x+1)x}}-1}{\frac{1}{x(x+1)}}=1$ ,το οποίο προκύπτει θέτοντας όπου $\frac{1}{x(x+1)}=y$ και από τον ορισμό της παραγώγου της για

Και το όριο $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{{e}^{\frac{1}{x+1}}}{(x+1)}=0$ πολύ εύκολα.Άρα το αρχικό κάνει 0.

Φιλικά,
Αλέξανδρος.

Απλά ...

Περήφανος ...

Θωμάς

Εύρεση ορίου

Εύρεση ορίου

Re: Εύρεση ορίου

Re: Εύρεση ορίου

Re: Εύρεση ορίου

Re: Εύρεση ορίου

Re: Εύρεση ορίου

Re: Εύρεση ορίου

Μέλη σε σύνδεση