Πλήθος ριζών εξίσωσης (μέρος ΙΙ)

mathsrebel · #1

Να δείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο ρίζες για την εξίσωση

$\displaystyle{2\bullet 3^x+3\bullet 4^x=10^x+4\bullet 2^x.}$

"Η εξίσωση είναι σωστή γιατί είναι όμορφη." --- Dirac

ντεχι · #2

Καλό θα ήταν να συνεχίζατε στο πρώτο μέρος διότι με αυτό που κάνετε παραβιάζετε τους κανονισμούς αφού "πνιγόμαστε" από ανώφελα threads με πολυσυζητημένη μέθοδο. Θα σας παρακαλούσα να το διορθώσετε διότι παρακολουθούν μαθητές και εσείς ως καθηγητές πρέπει να χαρακτηρίζεστε για την λιτότητα σας και να δίνετε το καλό παράδειγμα

mathsrebel · #3

ντεχι έγραψε:Καλό θα ήταν να συνεχίζατε στο πρώτο μέρος διότι με αυτό που κάνετε παραβιάζετε τους κανονισμούς αφού "πνιγόμαστε" από ανώφελα threads με πολυσυζητημένη μέθοδο. Θα σας παρακαλούσα να το διορθώσετε διότι παρακολουθούν μαθητές και εσείς ως καθηγητές πρέπει να χαρακτηρίζεστε για την λιτότητα σας και να δίνετε το καλό παράδειγμα

Έχετε δίκιο ...σας παρακαλώ να το διαγράψετε...

mathsrebel · #4

ντεχι έγραψε:Καλό θα ήταν να συνεχίζατε στο πρώτο μέρος διότι με αυτό που κάνετε παραβιάζετε τους κανονισμούς αφού "πνιγόμαστε" από ανώφελα threads με πολυσυζητημένη μέθοδο. Θα σας παρακαλούσα να το διορθώσετε διότι παρακολουθούν μαθητές και εσείς ως καθηγητές πρέπει να χαρακτηρίζεστε για την λιτότητα σας και να δίνετε το καλό παράδειγμα

Φίλε (και "ευγενικότατε" στα μηνύματα σου στο inbox) ντεχι , αναρωτιέμαι γιατί δεν εφαρμόζει κανείς την πολυσυζητημένη μέθοδο που είναι γνωστή από την δεκαετία του 80 όταν ήμουν και εγώ μαθητής....

mathsrebel · #5

Αφού ευχαριστήσω όλα τα μέλη της κοινότητας που διάβασαν αυτήν την δημοσίευση και ειδικότερα αφού ευχαριστήσω το μέλος ντεχι ( που τόσο ευγενικά εκφράζεται με μηνύματα του στο inbox) και αφού ζητήσω συγγνώμη από τους διαχειριστές για την δημοσίευση αυτή που αφορά "πολυσυζητημένη μέθοδο" (κατά το μέλος ντεχι) ενώ όλες οι άλλες δημοσιεύσεις αφορούν πρωτότυπες μεθόδους, παίρνω το θάρρος να δώσω μόνος μου την απάντηση στο ερώτημα:
Να δείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο ρίζες για την εξίσωση $\displaystyle{2\bullet 3^x+3\bullet 4^x=10^x+4\bullet 2^x.}$

Ιδού λοιπόν η απάντηση:

Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί 0 και 1 είναι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{2\bullet 3^x+3\bullet 4^x=10^x+4\bullet 2^x.}$
Επομένως έχει τουλάχιστον δυο ρίζες .

Έστω ότι υπάρχουν περισσότερες από δυο ρίζες ,δηλαδή 3 τουλάχιστον ρίζες $\displaystyle{r_{1}<r_{2}<r_{3}}$ , για την εξίσωση
$\displaystyle{2\bullet 3^x+3\bullet 4^x=10^x+4\bullet 2^x\Leftrightarrow 2\bullet 3^x+3\bullet 4^x-10^x-4\bullet 2^x=0\Leftrightarrow2\bullet \left(\frac{3}{2} \right)^x+3\bullet 2^x-5^x-4=0}$
Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=2\bullet \left(\frac{3}{2} \right)^x+3\bullet 2^x-5^x-4, x\in R}$ .
H $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στα $\displaystyle{\left[ r_{1},r_{2}\right],\left[ r_{2},r_{3}\right]}$ ως άθροισμα, γινόμενο και διαφορά συνεχών συναρτήσεων.
Η $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη στα $\displaystyle{\left( r_{1},r_{2}\right),\left( r_{2},r_{3}\right)}$ ως άθροισμα, γινόμενο και διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων
(με $\displaystyle{f '(x)=2\bullet \left(\frac{3}{2} \right)^x\bullet ln\left(\frac{3}{2} \right)+3\bullet 2^x\bullet ln2-5^x\bullet ln5, x\in R}$ )
$\displaystyle{f(r_{1})=f(r_{2})=f(r_{3})=0}$ (αφού $\displaystyle{r_{1},r_{2},r_{3}}$ είναι ρίζες της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ ) .
Άρα από θεώρημα Rolle υπάρχει τουλάχιστον μια ρίζα $\displaystyle{k_{1}\in \left( r_{1},r_{2}\right)}$ και τουλάχιστον μια ρίζα $\displaystyle{k_{2}\in \left( r_{2},r_{3}\right)}$ για την εξίσωση
$\displaystyle{f '(x)=0\Leftrightarrow 2\bullet \left(\frac{3}{2} \right)^x\bullet ln\left(\frac{3}{2} \right)+3\bullet 2^x\bullet ln2-5^x\bullet ln5=0\Leftrightarrow }$
$\displaystyle{\Leftrightarrow 2\bullet \left(\frac{3}{10} \right)^x\bullet ln\left(\frac{3}{2} \right)+3\bullet \left(\frac{2}{5} \right)^x\bullet ln2 -ln5= 0}$

Άτοπο , αφού η εξίσωση $\displaystyle{ 2\bullet \left(\frac{3}{10} \right)^x\bullet ln\left(\frac{3}{2} \right)+3\bullet \left(\frac{2}{5} \right)^x\bullet ln2 -ln5= 0}$ έχει το πολύ μια ρίζα
διότι η συνάρτηση $\displaystyle{ g(x)=2\bullet \left(\frac{3}{10} \right)^x\bullet ln\left(\frac{3}{2} \right)+3\bullet \left(\frac{2}{5} \right)^x\bullet ln2 -ln5, x\in R}$ είναι γνησίως φθίνουσα .
Η συνάρτηση $\displaystyle{ g}$ είναι γνησίως φθίνουσα αφού
$\displaystyle{ g '(x)=2\bullet \left(\frac{3}{10} \right)^x\bullet ln\left(\frac{3}{10} \right)\bullet ln\left(\frac{3}{2} \right)+3\bullet \left(\frac{2}{5} \right)^x\bullet ln\left(\frac{2}{5} \right)\bullet ln2 <0}$ για κάθε $\displaystyle{ x\in R}$
διότι
$\displaystyle{ \left(\frac{3}{10} \right)^x, \left(\frac{2}{5} \right)^x>0}$ για κάθε $\displaystyle{ x\in R}$ και $\displaystyle{ ln\left(\frac{3}{2} \right), ln2 >ln1=0 }$ και $\displaystyle{ln\left(\frac{3}{10} \right), ln\left(\frac{2}{5} \right)<ln1=0 }$ .
Άρα υπάρχουν το πολύ δυο ρίζες για την εξίσωση $\displaystyle{2\bullet 3^x+3\bullet 4^x=10^x+4\bullet 2^x.}$

Τελικά η εξίσωση $\displaystyle{2\bullet 3^x+3\bullet 4^x=10^x+4\bullet 2^x}$ έχει ακριβώς δυο ρίζες.

Πλήθος ριζών εξίσωσης (μέρος ΙΙ)

Πλήθος ριζών εξίσωσης (μέρος ΙΙ)

Re: Πλήθος ριζών εξίσωσης (μέρος ΙΙ)

Re: Πλήθος ριζών εξίσωσης (μέρος ΙΙ)

Re: Πλήθος ριζών εξίσωσης (μέρος ΙΙ)

Re: Πλήθος ριζών εξίσωσης (μέρος ΙΙ)

Μέλη σε σύνδεση