a,b,c

tsolis · #1

Αν $a+b+c=\frac{lna}{a}+\frac{lnb}{b}+\frac{lnc}{c}$ με a,b,c>0.
Να βρεθούν οι αριθμοί a,b,c.

#2

Σίγουρα υπάρχουν;

Είναι $\displaystyle{\ln(x)\leq x-1}$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$ , οπότε το δεξί μέλος είναι μικρότερο ή ίσο με

$\displaystyle{3-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}}$ ,

κι άρα θα είναι

$\displaystyle{6\leq \left(a+\frac{1}{a}\right)+\left(b+\frac{1}{b}\right)+\left(c+\frac{1}{c}\right)\leq 3}$ ,
άτοπο.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

tsolis έγραψε:Αν $a+b+c=\frac{lna}{a}+\frac{lnb}{b}+\frac{lnc}{c}$ με a,b,c>0.
Να βρεθούν οι αριθμοί a,b,c.

Όπως πολύ σωστά έδειξε ο Αχιλλέας, η ισότητα είναι αδύνατη.

Για να σώσω την άσκηση, ας την αλλάξω λίγο:

Αν $a+b+c=\frac{lna}{a}+\frac{lnb}{b}+\frac{lnc}{c} + 3$ με a,b,c>0,
να βρεθούν οι αριθμοί a,b,c.

Η λύση του Αχιλλέα ουσιαστικά μας δίνει την λύση και της νέας άσκησης, αλλά το αφήνω στους μαθητές να σκεφτούν πώς.

Μ.

Υπόδειξη για άλλο τρόπο:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

a,b,c

a,b,c

Re: a,b,c

Re: a,b,c

Μέλη σε σύνδεση